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RP Coating – das Software-Werkzeug für das Design optischer Vielschichtstrukturen

Beispiel: Reflexion eines fokussierten Strahls

Im Zusammenhang mit der Reflexion von Licht an die elektrischen Spiegel betrachtet man häufig nur ebene Wellen. Jedoch weist ein stark fokussierte Laserstrahl eine wesentliche Divergenz auf. Deswegen ist es unter Umständen nicht angemessen, einfach mit ebenen Wellen zu rechnen und damit den Einfluss der Divergenz zu vernachlässigen.

RP Coating stellt Funktionen für die Berechnung der Reflexion und Transmission nur für ebene Wellen bereit. Jedoch können wir mit ein paar Zeilen Skriptcode umfassendere Berechnungen durchführen, wo wir auch die Winkelabhängigkeit berücksichtigen. Dies wird im Folgenden demonstriert. Der Einfachheit halber nehmen wir Fokussierung in nur einer Dimension an, aber die Behandlung könnte auch auf zwei Dimensionen verallgemeinert werden.

Es sei für das Beispiel angenommen, dass wir mit einem Gauß-Strahl arbeiten; jedoch möchten wir die Freiheit erhalten, später auch mit beliebigen Strahlprofilen zu arbeiten. Deswegen beginnen wir mit einer Definition des einfallenden Strahlprofils, welches wir bei Bedarf später also ändern könnten:

lambda := 1180 nm
w0 := 2 um { beam radius }
theta := lambda / (pi * w0)
alpha := 20 deg { angle of incidence }
show "R0:       ", 100 * R_p(lambda, alpha):f3:"%"
w0_eff := w0 / cos(alpha)
k_x := (2pi / lambda) * sin(alpha)
E0%(x) := exp(-(x / w0_eff)^2) * expi(k_x * x) { electric field in arbitrary units }

Dies ist das Strahlprofil in der Ebene der Spiegel Oberfläche, d. h. nicht in einer Ebene senkrecht zur Strahlrichtung. Wir nehmen an, dass sich der Strahlfokus auf der Spiegel Oberfläche befindet – wir haben also dort keine Krümmung der Wellenfronten. Dies könnte jedoch geändert werden, wenn nötig.

Wir berechnen nun numerisch die Winkelverteilung mit einer schnellen Fourier-Transformation (FFT), erhalten die Verteilung des reflektierten Felds in der Fourier-Domäne sehr einfach und können dies dann zurücktransformieren:

x_m := 10 * w0 { max. x value }
N_x := 2^12 { number of points for numerical grid }
dx := 2 * x_m / N_x { spatial step size for grid ranging from -x_m to +x_m - dx }
defarray E0%[0, 2 * x_m - dx, dx] (periodic)
calc
  begin
    for x := -x_m to +x_m - dx step dx do
      E0%[x] := E0%(x); { incident field on numerical grid }
    P_in := arraysumsqr(E0%[]); { incident power }
    FFT(E0%[], E_f%[], +1);
    { Array E_f%[] now contains the incident field in the spatial Fourier domain.
      Now calculate the corresponding data for the reflected beam,
      using the function r_p%() for p polarization: } 
    processarray_e(E_f%[], '*', if abs(lambda * fx) < 1 then r_p%(lambda, arcsin(lambda * fx)), 'fx');
      { Note that the spatial frequency is fx = sin(alpha) / lambda. }
    { Now transform back to the spatial domain to obtain E_refl%[]: }
    FFT(E_f%[], E_refl%[], -1);
    P_refl := arraysumsqr(E_refl%[]); { reflected power }
    R_eff := P_refl / P_in; { effective reflectivity }
  end
show "R_eff:    ", 100 * R_eff:f3:"%"

Resultate

Der Code für die Definition der dielektrischen Spiegelstruktur wird hier nicht gezeigt; er könnte ganz beliebig sein. Wir nehmen hier einen einfachen Bragg-Spiegel an (für 1000 nm bei senkrechtem Einfall) und wählen den Einfallswinkel und die Wellenlänge des Lichtstrahl so, dass wir den Spiegel gerade in der Region betreiben, wo die Reflektanz rasch abfällt; siehe den schwarzen Kreis im folgenden Diagramm:

Mithilfe der wie oben berechneten Daten können wir die Winkelverteilung des reflektierten Strahles aufzeichnen:

Man sieht, das diese Verteilung nicht um 20° zentriert ist, also um den Einfallswinkel; das Maximum ist etwas zu kleineren Winkeln hin verschoben, da dort die Reflexivität des Spiegels höher ist.

Schließlich können wir auch das räumliche Profil des reflektierten Strahls inspizieren, welches ebenfalls deutlich verformt ist; zum Vergleich betrachte man die feine gestrichelte Kurve für das Profil des einfallenden Strahls:

Die effektive Reflektanz ergibt sich zu 50,7 %, was deutlich weniger ist als die für eine ebene Welle berechneten 57,0 %.

Wir erhalten recht deutlich ausgeprägte Effekte durch die Winkelabhängigkeit, aber nur indem wir einen ziemlich stark fokussierten Strahl annehmen und außerdem einen Arbeitspunkt bezüglich Winkel und Wellenlänge, wo relativ starke Effekte zu erwarten sind. Für typische praktische Situationen, wo Laserstrahlen an solchen Spielen reflektiert werden, sind solche Effekte vernachlässigbar schwach.

Jedenfalls können Sie sehen, dass RP Coating genügend flexibel ist, um damit solche Dinge untersuchen zu können, obwohl die von der Software zur Verfügung gestellten Funktionen zunächst nur für ebene Wellen gelten. Bei Bedarf könnte man auch einfach benutzerdefinierte Funktionen erzeugen, die beispielsweise die effektivere Effektivität eines Gauß-Strahls mit gegebenem Fokusradius berechnen. Ebenfalls könnte man diverse zusätzliche Diagramme erzeugen, beispielsweise Farbdiagramme für die Illustration resultierender Strahlprofile.

Falls Sie die Nutzung solcher Tricks kompliziert finden, beachten Sie auch, dass sie solchen zusätzlichen Code auch innerhalb des technischen Supports erhalten können – soweit er nicht ohnehin schon in Demo-Dateien verfügbar ist, wie im vorliegenden Fall.