RP Resonator – das Software-Werkzeug für Design und Optimierung von Laserresonatoren

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Beispiel: Achromat-Linse

Wir optimieren eine achromatische Doublet-Linse für eine gegebene Brennweite über einen gewissen Wellenlängenbereich. Die grundlegende Idee hinter solchen Designs ist es, eine fokussierende Linse als Kombination einer stark fokussierenden und einer schwächer defokussierenden Linse zu realisieren, wobei die letztere vom Material her eine stärkere chromatische Dispersion aufweist. Deswegen kann deren Dispersion die Dispersion der anderen Linse kompensieren.

In RP Resonator definieren wir zunächst einmal die Linse als eine Folge zweier “Prismen”mit gekrümmten Oberflächen, außerdem noch eine Strecke in Luft, in der wir den Fokus finden werden:

resonator: single pass, z = 0, w = w0, d_t = 10 um
* prism (lens1): l = d1, n(l) = n_BK7(l), R1 = R1, R2 = R2
* prism (lens2): l = d2, n(l) = n_SF2(l), R1 = -R2, R2 = R3
* air: d = b, "b"
resonator end

Wir definieren nun eine Funktion, um den Fokuspunkt zu finden und daraus die Brennweite zu berechnen, basierend auf geometrischer Optik:

z0 := 0.5 * (d1 + d2) { reference position for focal length }
f_lens(l) :=
  { focal length for wavelength l }
  begin
    global allow all;
    var z, z_f;
    z := f_wanted / 2;
    z_f := z - d_t(z, l) / da_t(z, l);
    z_f - z0;
  end

Für die numerische Optimierung definieren wir eine Funktion, die Abweichungen von der gewünschten Brennweite im relevanten Bereich von Wellenlängen “bestraft”:

FOM() :=
  { figure of merit: 0 in ideal case }
  sum(l := 400 nm to 800 nm step 50 nm,
    (f_lens(l) / f_wanted - 1)^2)

Dann lassen wir die Software die Krümmungsradien R2 und R3 so ändern, dass die genannte Funktion einen so kleinen Wert wie möglich ergibt, und zeigen die erhaltenen Werte an:

vary
  R2 in [10 mm, 200 mm],
  R3 in [10 mm, 200 mm],
  for minimum of (Init(0); FOM()),
  ytol = 1e-6

show "R1:      ", R1:d3:"m"
show "R2:      ", R2:d3:"m"
show "R3:      ", R3:d3:"m"

Schließlich überprüfen wir den Erfolg mit zwei Diagrammen, die den Strahlradius als Funktion der Position für verschiedene Wellenlängen zeigen, und die Brennweite als Funktion der Wellenlänge:

Die Software ist ersichtlich sehr flexibel betreffend etwa die Definition zusammengesetzter optischer Elemente und von Zielfunktionen. Es wäre nicht schwer, das Skript für ein Linsen-Triplet zu erweitern, welches als Apochromat die Brennwerte über einen größeren Wellenlängenbereich noch besser einhalten kann.

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