Tutorial: Faserverstärker

Dies ist Teil 3 eines Tutorials über Faserverstärker von Dr. Paschotta.

Teil 3: Selbstkonsistente Lösungen für den stationären Zustand

Gesamtverstärkung aus der lokalen Verstärkung

Sobald wir die lokalen Verstärkungskoeffizienten entlang der Faser kennen, lässt sich die dimensionslose Gesamtverstärkung eines Faserverstärkers durch Integration über die gesamte Faserlänge berechnen:

$$G(\lambda ) = \int\limits_0^L g(z,\lambda )\;\mathrm{d}z $$

Sie können dies mit 4,343 multiplizieren, um die Verstärkung in Dezibel zu erhalten, oder die Exponentialfunktion davon nehmen, um den Leistungsverstärkungsfaktor zu bekommen.

Selbstkonsistente stationäre Lösungen

Vor uns liegt eine erhebliche Herausforderung: Wie berechnet man die Gesamtverstärkung im stationären Zustand? Die obige Gleichung lässt es einfach erscheinen, aber woher kennen wir die benötigten Verstärkungskoeffizienten an allen Stellen der Faser? Diese hängen schließlich von den lokalen Pump- und Signalleistungen ab, und die kennen wir noch nicht! Diese wiederum hängen von den noch unbekannten Anregungsdichten ab. Offensichtlich müssen wir eine selbstkonsistente Lösung für die optischen Leistungen und Anregungsdichten an allen Positionen in der Faser finden.

In manchen Situationen ist das relativ einfach zu bekommen. Haben Sie etwa nur eine gleichlaufende Pumpe und ein Signal, so können Sie die Anregungsdichte am Eingangsende berechnen, daraus die lokale Pumpabsorption und Signalverstärkung gewinnen und damit die Leistungen einen kleinen Schritt in die Faser hinein propagieren. Dort berechnen Sie wieder die Anregungsdichten, die Verstärkung und die Absorption usw.; dieses Verfahren iterieren Sie einfach, bis Sie das Faserende erreicht haben.

Für gegenläufiges Signal und Pumpe ist es etwas schwieriger, aber Sie können das “Schießverfahren” (shooting method) verwenden. Beginnen Sie an einem Ende mit dem Signaleingang und einer groben Schätzung der dort verbleibenden Pumpleistung. (Sie hängt von der Anregung der Faser ab, die noch nicht bekannt ist.) Propagieren Sie dann die Pumpleistung zusammen mit dem Signal zum anderen Ende. (Die Pumpleistung wächst in dieser Richtung; Sie propagieren sie rückwärts!) Am Signalausgangsende werden Sie im Allgemeinen feststellen, dass die Pumpleistung nicht zur tatsächlich eingekoppelten Pumpleistung passt. Sie können dann jedoch Ihre Schätzung verfeinern und das Verfahren iterieren, bis Sie die selbstkonsistente Lösung haben.

Richtig schwierig wird es, wenn man mehrere gegenläufige Wellen hat. Selbst wenn Sie nur eine einzige Pumpwelle und kein Signal einkoppeln, können Sie etwa durch verstärkte Spontanemission (siehe Teil 4) intensives Licht erhalten, das in beide Richtungen läuft. Im Prinzip lässt sich das erwähnte Schießverfahren verallgemeinern, doch das erfordert eine mehrdimensionale Nullstellensuche. Die dabei auftretenden exponentiellen Abhängigkeiten machen das nicht leichter…

Es gibt andere Algorithmen wie die Relaxationsverfahren, bei denen man die Leistungen mit geschätzten Verteilungen der Anregungsdichten propagiert und diese später ändert, um die Fehler zu verringern. Die Herausforderung besteht darin, solche Verfahren gut konvergieren zu lassen, also sowohl schnell als auch zuverlässig. Die Zuverlässigkeit ist dabei ziemlich schwer zu erreichen, da das Verhalten solcher Algorithmen stark von verschiedenen Parametern des Verstärkers beeinflusst werden kann.

Da dieser Teil wirklich schwierig ist, werden Sie es sehr zu schätzen wissen, eine Software zu haben, die Ihnen diese Arbeit abnimmt. Unsere Software RP Fiber Power etwa verwendet einen sehr ausgefeilten Algorithmus, der die Aufgabe schnell und zuverlässig erledigt. Als Anwender geben Sie einfach alle Eingaben vor und erhalten die Lösung ohne Mühe.

Beispielfall: Ytterbium-dotierter Faserverstärker

Als Beispiel betrachten wir einen Ytterbium-dotierten Faserverstärker mit 1 W Pumpleistung bei 940 nm und einem Signaleingang von 1 mW bei 1030 nm:

Das Verhalten der Faser ist überraschend kompliziert:

• Der resultierende Anregungsgrad des Ytterbiums ist nicht am Eingang am höchsten, wo die Pumpleistung am größten ist, sondern ein Stück weit in der Faser. Das liegt daran, dass die verstärkte Spontanemission (ASE, siehe Teil 4) in Rückwärtsrichtung am linken Ende stark wird.
• Auch die ASE in Vorwärtsrichtung hat eine Wirkung, aber nur in einem Bereich innerhalb der Faser. (Im Experiment würde man sie kaum bemerken!)
• Auf der rechten Seite, wo die Pumpe vollständig aufgebraucht ist, erfährt das Signal etwas Reabsorption. Diese ist allerdings nicht sehr stark, da die Reabsorption gesättigt ist: Das Signal mit ≈600 mW Leistung (nicht die aufgebrauchte Pumpe!) hält die Ytterbium-Anregung bei ≈7 % und verringert die Absorption damit stark. (Bei einem schwachen Signal wäre dieser Effekt weit stärker.)
• Die Pumpleistung fällt zunächst rasch ab, dann langsamer, wo die Ytterbium-Anregung am höchsten ist, und danach wieder schneller.

Die Faserlänge war im Beispielfall etwas länger als ideal. Beachten Sie allerdings, dass eine Änderung der Faserlänge die ASE-Leistungen auf unerwartete Weise verändern kann. Solche Dinge sollte man also berechnen, statt sie nur zu raten.

Wir sehen also deutlich, dass die Entwicklung der Leistungen in der Faser wesentlich von den Ytterbium-Anregungen abhängt, während diese natürlich durch die Leistungen bestimmt werden. Das resultierende Verhalten kann recht kompliziert sein, sodass selbst erfahrene Personen oft über die simulierten Ergebnisse überrascht und über unerwartete experimentelle Ergebnisse verwirrt sind.

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