Tutorial: Modellierung und Simulation von Faserverstärkern und Faserlasern

Auf den ersten Blick scheint die Lage fürchterlich kompliziert. Zunächst sind die Energieniveaus solcher Ionen in sogenannte Stark-Multipletts gruppiert, von denen jedes aus einer Reihe von Unterniveaus besteht. Die Energien der Unterniveaus innerhalb eines Multipletts sind etwas verschieden; die Stark-Aufspaltung wird durch lokale elektrische Felder verursacht. In kristallinen Materialien wie Yb:YAG haben die aktiven Ionen im Wesentlichen alle dieselbe mikroskopische Umgebung, sodass sich die Unterniveaus in spektroskopischen Messungen auflösen lassen (siehe Abbildung 1).

Besonders in Gläsern, wie sie für Fasern verwendet werden, kann die mikroskopische Umgebung der laseraktiven Ionen stark variieren und damit auch die Niveauenergien. Streng genommen hat jedes einzelne Ion seinen eigenen Satz von Übergangsquerschnitten, und es ist natürlich nicht praktikabel, all diese Daten im Einzelnen zu messen. In spektroskopischen Messungen sieht man nur verschmierte Absorptionskurven, in denen sich die Unterniveaus nicht auflösen lassen.

Ein weiterer Aspekt ist, dass wir sehr hohe Übergangsraten zwischen den Unterniveaus innerhalb jedes Multipletts haben, verursacht durch Phononen (Gitterschwingungen) im Glas. Diese Übergänge bewirken eine erhebliche Niveauverbreiterung (Lebensdauerverbreiterung) und stellen rasch (auf einer Pikosekunden-Zeitskala) ein thermisches Gleichgewicht innerhalb jedes Stark-Multipletts her (nicht aber zwischen verschiedenen Multipletts).

Glücklicherweise können wir trotz dieser fürchterlich komplizierten physikalischen Details normalerweise ein stark vereinfachtes Modell verwenden (siehe Abbildung 2), das nur einen vergleichsweise kleinen, messbaren Datensatz enthält:

• Wir betrachten nur die Gesamtbesetzungen der ganzen Stark-Multipletts statt derjenigen einzelner Unterniveaus. Innerhalb jedes Multipletts stellen die erwähnten nichtstrahlenden Übergänge sehr rasch ein thermisches Gleichgewicht her (gemäß einer Boltzmann-Verteilung), sodass das Modell keine zusätzlichen dynamischen Variablen enthalten muss.
• Wir verwenden dann sogenannte effektive Übergangsquerschnitte für Übergänge zwischen den Stark-Multipletts. Diese berücksichtigen implizit die thermischen Verteilungen auf die einzelnen Unterniveaus – für eine gewählte Temperatur. (Wird das Glas im Betrieb sehr heiß, so können sich die effektiven Übergangsquerschnitte etwas ändern.)
• Für die spontane Emission arbeiten wir ebenfalls mit Übergangsraten, die für ganze Stark-Multipletts gelten. Diese Übergangsraten können auch Multiphononen-Übergänge zwischen den Multipletts berücksichtigen, die relevant werden, wenn die Energieabstände der Multipletts nicht wesentlich größer sind als die maximale Phononenenergie des Glases.

Effektiv kümmern wir uns überhaupt nicht um die Details der Unterniveaus, etwa die statistische Verteilung ihrer Energien oder die schnellen phononenvermittelten Übergänge zwischen ihnen! Wir verwenden einfach effektive Übergangsquerschnitte, wie sie sich aus Messungen ergeben, und müssen die genauen physikalischen Ursachen nicht kennen.

Das übliche Quasi-Drei-Niveau-Verhalten der Laserionen stellt für die Modellierung keine echte Schwierigkeit dar; die Software darf nur keine Annahmen verwenden, die ausschließlich für Vier-Niveau-Lasermedien gelten. Simulationen sind gerade im Zusammenhang mit Quasi-Drei-Niveau-Lasermedien oft besonders wichtig, da eine Reihe wichtiger Effekte auftreten kann, die man verstehen sollte, um gut funktionierende Designs zu finden.

Übrigens nehmen wir mit der Verwendung effektiver Übergangsquerschnitte, die eine Art Mittelwerte für alle laseraktiven Ionen sind, implizit an, dass sich im Wesentlichen alle Ionen gleich verhalten. Ist das der Fall, so erhalten wir eine homogene Verstärkungssättigung. Glücklicherweise zeigen die meisten Seltenerd-dotierten Fasern dieses Verhalten.

Ernsthafte Schwierigkeiten entstehen nur in Fällen, in denen die erwähnte Annahme nicht gilt und Ratengleichungsmodelle unangemessen sind. Das ist bei Laserionen mit stark inhomogenem Verhalten der Fall, wie es etwa bei manchen Neodym-dotierten Fasern auftreten kann (je nach chemischer Zusammensetzung des Glases). Das Problem ist dann, dass die Pumpwelle bei einer bestimmten Wellenlänge etwa bevorzugt eine bestimmte Gruppe von Ionen anregt, die ein bestimmtes Verstärkungsspektrum zeigt, während das Pumpen bei anderen Wellenlängen andere Ionen anregen würde, was zu einem anderen Verstärkungsspektrum führt. Es genügt dann nicht, nur die gesamten anteiligen Anregungsgrade zu betrachten, denn es kommt darauf an, welche Ionen genau angeregt werden. Im Prinzip könnte man ein Modell erstellen, das verschiedene Typen solcher Ionen (je nach mikroskopischer Umgebung) unterscheidet; in der Praxis wird es allerdings sehr schwer sein, an die relevanten spektroskopischen Daten zu kommen.

Insgesamt lässt sich das Ensemble der laseraktiven Ionen mit dem folgenden Datensatz beschreiben:

• ihre Dichte, die in Fasern meist nur von der radialen Koordinate ($r$) abhängt
• Übergangsraten ($A_{ij}$) zwischen den Multipletts, verursacht durch spontane Emission und/oder Multiphononen-Übergänge, die die Lebensdauern des oberen Laserniveaus bestimmen
• die wellenlängenabhängigen effektiven Übergangsquerschnitte (Funktionen ($\sigma_{ij}(\lambda )$)) für stimulierte Übergänge zwischen den Multipletts

Der Zustand der Ionen im Betrieb wird allein durch die anteiligen Besetzungen der Stark-Multipletts charakterisiert – Mittelwerte für bestimmte kleine Bereiche in der Faser, die im Allgemeinen von ($r$) und ($z$) abhängen. Natürlich können diese Besetzungswerte von den lokalen optischen Intensitäten abhängen. Ihre zeitliche Entwicklung lässt sich allgemein mit Ratengleichungen beschreiben, wie sie in unserem Enzyklopädieartikel über Ratengleichungsmodelle erklärt werden.

Die stationären Besetzungen erhält man einfach, indem man die Zeitableitungen null setzt und das resultierende Gleichungssystem löst. Solange nur Absorption sowie spontane und stimulierte Emission beteiligt sind, ist das Gleichungssystem linear und damit leicht zu lösen. Gibt es nichtlineare Terme durch Energietransfer-Prozesse, so wird das etwas schwieriger; man braucht dann im Allgemeinen einen iterativen Algorithmus.

In vielen Fällen lässt sich das Modell für laseraktive Ionen weiter vereinfachen, wenn nur ein einziges metastabiles Niveau (Stark-Multiplett) relevant ist. Das einfachste Beispiel dafür ist das Yb³⁺-Ion. Wir müssen nur ein Grundzustands-Multiplett (1) und ein einziges angeregtes Multiplett (2) betrachten (siehe Abbildung 2). Wir nennen ihre anteiligen Besetzungen ($n_1$) und ($n_2$), und da es keine weiteren Niveaus gibt, wissen wir, dass ($n_1 + n_2 = 1$) gilt: Jedes Ion kann sich zu einem Zeitpunkt nur in einem dieser Niveaus befinden.

Wir brauchen dann nur zwei Funktionen für effektive Übergangsquerschnitte: ($\sigma_{12}(\lambda )$) für die Absorption (Übergänge 1 → 2) von Licht und ($\sigma_{21}(\lambda )$) für die stimulierte Emission. Die spontane Übergangsrate ($A_{21}$) ist die inverse Lebensdauer des oberen Laserniveaus ($\tau_2$).

Man könnte meinen, Erbium-Ionen mit ihren weit zahlreicheren Niveaus seien viel schwieriger zu beschreiben. Das ist jedoch nicht notwendigerweise der Fall. Häufig pumpt man einen Erbium-dotierten Faserverstärker um 980 nm und bringt damit Ionen von Niveau 1 (Grundzustand) nach 3 (siehe Abbildung 3). Meist gibt es einen recht schnellen nichtstrahlenden Zerfall von Niveau 3 nach 2 unter Emission mehrerer Phononen. Betrachtet man diesen Übergang als unendlich schnell, so können wir tatsächlich so tun, als würden wir direkt von Niveau 1 nach 2 pumpen. Die relevanten Absorptionsquerschnitte sind ($\sigma_{13}(\lambda )$), und die Emissionsquerschnitte sind in diesem Fall null: Pumplicht um 980 nm kann Ionen nicht von 2 nach 1 zurückbringen. Es könnte Ionen in Niveau 3 beeinflussen, doch dort sind praktisch keine Ionen. Wir können also trotz der zusätzlichen Niveaus genau dasselbe Modell verwenden wie für Ytterbium. Nur in Fällen, in denen entweder der erwähnte nichtstrahlende Zerfall langsam ist (was Flaschenhalseffekte verursacht) oder zusätzliche Niveaus angeregt werden (etwa über Absorption aus angeregten Zuständen), ist ein Modell mit mehr Niveaus nötig.

Neodym-dotierte Fasern lassen sich meist ebenfalls mit dem vereinfachten Modell behandeln. Hier liegt das untere Laserniveau meist deutlich über dem Grundniveau (energetisch), doch es gibt einen raschen nichtstrahlenden Übergang von dort in den Grundzustand. Effektiv gibt es auf dem Laserübergang keine Reabsorption; wir haben ein reines Vier-Niveau-System. Im Modell verwenden wir für diese Absorption einfach Querschnitte von null. Auch stimulierte Emission durch das Pumplicht tritt üblicherweise nicht auf. Nur die Fälle mit inhomogenem Verhalten (siehe oben) sind problematisch.