Tutorial: Modellierung und Simulation von Faserverstärkern und Faserlasern

Dies ist Teil 3 eines Tutorials über die Modellierung und Simulation von Faserverstärkern und Faserlasern von Dr. Paschotta.

Teil 3: Leistungspropagation oder Feldpropagation

Wir müssen nun überlegen, wie genau das Licht und seine räumlichen Eigenschaften in einem Modell dargestellt werden sollten. Wir müssen genau entscheiden, welche Größen in den mathematischen Gleichungen und numerischen Datenstrukturen verwendet werden. Für effiziente Lösungen sollte diese Wahl von der Situation abhängen.

Annahme eines transversalen Rechteckprofils

Im einfachsten Fall können wir die transversale Dimension im Wesentlichen ignorieren und eine rechteckige Intensitätsverteilung in transversaler Richtung annehmen: Das Licht füllt den Faserkern annahmegemäß homogen aus (und geht nicht darüber hinaus), und wir betrachten nur die Änderung der optischen Leistung entlang der Faser durch Verstärkung, Absorption oder Verluste. Wir nennen das Leistungspropagation (im Gegensatz zur Feld- oder Strahlpropagation). In den Gleichungen haben wir die optische Leistung ($P_j(z)$) für Kanal ($j$), wobei die Koordinate ($z$) von 0 bis ($L_\mathrm{f}$), der Länge der aktiven Faser, läuft.

Üblicherweise verwendet man für jeden optischen Kanal ein einfaches Feld von Leistungswerten mit einem festen longitudinalen Abstand der gespeicherten Werte. Dieser Abstand sollte fein genug sein, um den veränderlichen Leistungspegel hinreichend genau darzustellen. Das Feld kann etwa 51 Komponenten haben, um 50 numerische Schritte in ($z$)-Richtung zu realisieren.

Die Änderung der optischen Leistung in ($z$)-Richtung lässt sich mit einer einfachen Differentialgleichung beschreiben:

$$\frac{\partial P_j(z)}{\partial z} = \pm \left( g_j(z) - \alpha_j \right)P_j(z)$$

wobei ($g_j$)(z) die lokale Verstärkung ist. (Typischerweise haben Signalkanäle über die ganze Faser positive Verstärkungswerte, während Pumpkanäle negative Werte haben, die Absorption anzeigen.) Der normalerweise konstante (aber oft wellenlängenabhängige) Wert ($\alpha_j$) steht für zusätzliche Ausbreitungsverluste der Faser im Hintergrund, die etwa aus Rayleigh-Streuung resultieren. (Innerhalb einer kurzen Verstärker- oder Laserfaser lässt sich das oft vernachlässigen.) Das Pluszeichen gilt für vorwärts laufende Kanäle, das Minuszeichen für rückwärts laufende. In dynamischen Simulationen (siehe Teil 6) können sich die Verstärkungswerte mit der Zeit ändern, etwa durch Sättigungseffekte.

Die lokale Verstärkung oder Dämpfung ($g_j$) hängt von Details der laseraktiven Ionen und ihrer Anregungsgrade ab, die ihrerseits von den optischen Leistungen aller Kanäle abhängen können; das schauen wir uns in Abschnitt 4 an.

Typischerweise braucht man zwischen 50 und 200 numerische Schritte, um die Leistungen von einem Faserende zum anderen zu propagieren. Ein Computer schafft das in einem Bruchteil einer Sekunde.

Andere feste transversale Profile

Oft haben wir es mit einmodigen Fasern zu tun. Hier haben wir wiederum ein festes Intensitätsprofil, nur dass es kein Rechteckprofil ist, sondern eher einem gaußschen Profil ähnelt. Ein großer Teil der Leistung liegt innerhalb des Faserkerns, doch die Flanken reichen etwas darüber hinaus (siehe Abbildung 1).

Für die einfachste Erweiterung des Modells besteht die einzige Änderung gegenüber dem zuvor besprochenen Rechteckmodell im etwas verringerten Überlapp des Intensitätsprofils mit dem Faserkern, was zu etwas kleineren Werten der lokalen Verstärkung oder Dämpfung ($g_j$) führt. Diese Verringerung wird oft mit Überlappfaktoren ($\xi_j$) beschrieben, die sich aus den Intensitäts- und Dotierungsprofilen berechnen lassen. Ein genaueres Verfahren besteht darin, den Bereich des Faserkerns in konzentrische Ringe zu unterteilen, innerhalb derer die optischen Intensitäten nicht stark variieren. Man verwendet dann für alle Ringe eigene Überlappfaktoren und Anregungsgrade; mehr dazu in Abschnitt 5.

Natürlich kann Simulationssoftware all das übernehmen. Zusätzlich zum Kerndurchmesser muss der Software mitgeteilt werden, wie die transversalen Intensitätsprofile aller Kanäle aussehen. Eine flexible Software wie unser Produkt RP Fiber Power bietet dafür verschiedene Möglichkeiten:

• Häufig wählt man die Annahme gaußscher oder rechteckiger Profile mit vorgegebenen Strahlradien. (Oft gibt der Lieferant einer Faser eine Modengröße an, die man hier verwenden kann.)
• Man kann auch beliebige Intensitätsprofile auf Basis mathematischer Ausdrücke oder tabellierter Werte definieren.
• In anderen Fällen möchte man Intensitätsprofile von Faser-Moden verwenden, wie sie der Mode Solver berechnet.

In jedem Fall berechnet die Software dann automatisch die benötigten Überlappfaktoren.

Veränderliche transversale Profile und numerische Strahlpropagation

In manchen Fällen kann man kein festes transversales Intensitätsprofil annehmen, da sich dieses Profil während der Ausbreitung ändert und diese Änderungen untersucht werden müssen. Änderungen des Intensitätsprofils können entweder aus Änderungen der Fasereigenschaften resultieren (etwa in verjüngten Fasern) oder aus Ausbreitungseffekten, meist in Multimode-Fasern. So kann etwa das Pumpintensitätsprofil im stark mehrmodigen Pumpmantel einer Doppelmantelfaser eine Art “Loch” um den dotierten Kern entwickeln, da die Pumpabsorption nur in diesem Kern stattfindet. Wir haben dieses Phänomen in einer Fallstudie besprochen, aus der Abbildung 2 entnommen ist.

Sind Ausbreitungseffekte relevant, so muss die Beschreibung des Lichtfelds erheblich umfassender sein als bei der Leistungspropagation. Nimmt man ein monochromatisches Feld an (was häufig genügt), so muss man statt eines einfachen Leistungswerts eine ganze transversale Verteilung komplexer Feldamplituden betrachten (für jede ($z$)-Position). Beachten Sie, dass nicht nur die optischen Intensitäten, sondern auch die optischen Phasen (dargestellt durch die Phasen der komplexen Amplituden) berücksichtigt werden müssen, da diese die Lichtausbreitung stark beeinflussen. (Gekrümmte Wellenfronten können etwa dazu führen, dass Licht divergiert oder konvergiert.) Für nichtmonochromatische Felder muss man womöglich mehrere Frequenzkomponenten getrennt betrachten.

Numerische Verfahren für die Strahlpropagation

Es gibt verschiedene numerische Verfahren zur Berechnung der Strahlpropagation:

• Die bekannte Split-Step-Fourier-Methode behandelt Beugungseffekte im räumlichen Fourier-Raum. Jeder Schritt ist relativ zeitaufwendig, da er zwei zweidimensionale Fourier-Transformationen erfordert, erlaubt aber oft eine relativ große Schrittweite. Sie kann daher für schwach führende Fasern (mit kleiner numerischer Apertur) recht effizient sein.
• Für Bauelemente mit hohem Brechungsindex-Kontrast kann ein Finite-Differenzen-Verfahren geeigneter sein, bei dem die komplexe Amplitude an einem Punkt nur aus einer begrenzten Menge von Punkten in der vorigen Ebene berechnet wird. Die Berechnung der benötigten Matrizen ist jedoch ein recht schwieriges Thema, und meist braucht man ziemlich kleine longitudinale Schrittweiten.
• Es gibt modenbasierte Algorithmen, die ihre eigenen Grenzen haben.

Mit einer geeigneten Simulationssoftware lässt sich eine sehr große Bandbreite von Phänomenen untersuchen. Man kann etwa die Wirkung einer Faserbiegung studieren: Licht wird in den Mantel ausgekoppelt und verursacht Biegeverluste. Beachten Sie, dass der allgemeine Strahlpropagations-Algorithmus es erlaubt, Licht nicht nur im Kern, sondern auch im Mantel zu untersuchen – mit im Wesentlichen beliebigen 3D-Profilen des Brechungsindex. Weitere Beispiele sind Koppelverluste an nicht idealen Spleißen, Mehrkern-Fasern, verjüngte Fasern und Faserkoppler. Einige dieser Anwendungen liegen im Bereich der passiven Faseroptik.

Für die Ausbreitung durch eine Verstärker- oder Laserfaser muss man natürlich die Absorption und Verstärkung in der Faser einschließlich der Sättigungseffekte berücksichtigen.

Allgemein ist der Rechenaufwand für die numerische Strahlpropagation weit höher als für einfache Leistungspropagations-Algorithmen, wie sie sich in Situationen mit festen transversalen Intensitätsprofilen anwenden lassen, wie oben erklärt. Zudem ist es dann schwierig, selbstkonsistente Lösungen (Moden) in einem Laserresonator zu finden. Simulationssoftware bietet daher oft nur die Propagation in einem einzelnen Durchgang an, nicht aber etwa die Berechnung selbstkonsistenter stationärer Lösungen für Laser.

Bauelemente mit Doppelmantelfasern

Bei Doppelmantelfasern haben wir gesehen, dass sich mit numerischer Strahlpropagation bestimmte Phänomene der Pumpabsorption untersuchen lassen, die im vereinfachten Modell mit einem festen Intensitätsprofil für das Pumplicht (etwa einer rechteckigen Verteilung) übersehen würden. Andererseits wird der numerische Aufwand erheblich größer. In der Praxis muss man daher entscheiden, ob die erwähnte Art von Phänomenen von Interesse ist. Liegt der Hauptaspekt der Untersuchung auf einem anderen Feld – etwa bei Prozessen innerhalb des Faserkerns –, so entscheidet man sich womöglich für ein vereinfachtes Modell, im Bewusstsein, dass die Pumpabsorption nicht sehr genau modelliert wird. Man sollte im Blick behalten, dass das beste Modell nicht notwendigerweise das genaueste ist, sondern dasjenige, das für die anstehende Aufgabe am besten geeignet ist.

Weiter zu Teil 4: Die laseraktiven Ionen oder zurück zur Startseite.