Tutorial: Modellierung und Simulation von Faserverstärkern und Faserlasern

Dies ist Teil 7 eines Tutorials über die Modellierung und Simulation von Faserverstärkern und Faserlasern von Dr. Paschotta.

Teil 7: Ultrakurze Pulse

Für Pulsdauern im Pikosekunden- oder gar Femtosekundenbereich kommen bei der Simulation der Pulsausbreitung zusätzliche physikalische Effekte ins Spiel. Einer davon ist die chromatische Dispersion, also die Wellenlängenabhängigkeit des effektiven Brechungsindex der Faser. (Beachten Sie, dass wir normalerweise die Wellenleiterdispersion berücksichtigen müssen, außer bei manchen Fasern mit großer Modenfläche.) Auch die Nichtlinearitäten der Faser können starke Wirkungen haben. Man muss unter Umständen nicht nur die Kerr-Nichtlinearität berücksichtigen, sondern auch die verzögerte nichtlineare Antwort, die zur stimulierten Raman-Streuung führt. Diese Aspekte werden in Teil 8 unseres Tutorials über Faserverstärker besprochen.

Die Kombination von numerischer Strahlpropagation mit ultrakurzen Pulsen wäre hinsichtlich Rechenzeit und Speicher recht anspruchsvoll. Glücklicherweise hat man es meist mit Situationen zu tun, in denen die transversalen räumlichen Effekte nicht von Interesse sind; wir können feste transversale Intensitätsprofile annehmen (siehe Abschnitt 3).

Wie man ultrakurze Pulse darstellt

Für jede ($z$)-Position in der Faser müssen wir nun die zeitabhängige komplexe Feldamplitude betrachten. Einige Einzelheiten:

• Üblicherweise verwendet man Feldeinhüllenden-Amplituden ($A(t)$). Die elektrische Feldstärke ist proportional zu ($\mathrm{Re}(A(t) \exp(-i \omega_0 t))$), wobei ($\omega_0$) die mittlere Kreisfrequenz ist. Die komplexen Feldamplituden können so normiert werden, dass ihr Betragsquadrat den optischen Leistungen entspricht.
• Die Amplituden müssen in einem Zeitbereich gespeichert werden, der groß genug ist, um etwa etwas mehr als den betrachteten optischen Puls zu umfassen. Numerisch braucht man ein Feld von Amplituden mit einem Zeitabstand, der fein genug ist, um die Pulse zu allen Zeiten richtig abzutasten. Normalerweise sollte die Zahl der Komponenten dieses Feldes eine Zweierpotenz sein, um die Nutzung von Fourier-Verfahren zu erleichtern (siehe unten).
• Üblicherweise verwendet man ein “mitbewegtes Zeitfenster”, in dem ein eingekoppelter Puls um ($t = 0$) zentriert bleibt, solange nichtlineare und dispersive Effekte das Pulsmaximum nicht verschieben.

Die passende Wahl der Parameter für das Zeitgitter (Breite des Zeitbereichs, zeitliche Auflösung, Zahl der Punkte) ist nicht immer offensichtlich. Während der Simulationen muss man unter Umständen überwachen, ob die gewählten Gitterparameter für eine vernünftige numerische Genauigkeit ausreichen. Für Berechnungen an modengekoppelten Lasern genügen manchmal schon 256 Gitterpunkte, während Simulationen mit stark gechirpten Pulsen oder gar zur Superkontinuumserzeugung weit mehr erfordern, etwa 2¹⁴ oder sogar 2¹⁶ Amplituden.

Propagationsgleichungen

Die benötigten Propagationsgleichungen können erheblich komplizierter werden als für längere Pulse. Als Beispiel beschreibt die folgende Gleichung für die komplexe Amplitude ($A(z,t)$) die Ausbreitung eines einzelnen optischen Kanals unter dem Einfluss von Verstärkung, Hintergrundverlusten, chromatischer Dispersion zweiter und dritter Ordnung sowie nichtlinearen Effekten einschließlich einer verzögerten nichtlinearen Antwort (Kerr-Effekt und stimulierte Raman-Streuung). Die nichtlineare Antwortfunktion ($R(\tau )$) hängt mit dem Fourier-transformierten Raman-Verstärkungsspektrum zusammen.

$$\begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial z} A(z,t) = \left( g - \alpha \right)A(z,t) + \left( { - i\frac{\beta_2}{2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \frac{\beta_3}{6}\frac{\partial^3}{\partial t^3}} \right)A(z,t)\\ \quad + i\gamma \left( 1 + \frac{i}{\omega_0}\frac{\partial }{\partial t} \right)\left( {A(z,t)\int\limits_0^\infty R(\tau ){\left| A(z,t - \tau ) \right|}^2\mathrm{d}\tau } \right) \end{array}$$

Wenn mehrere optische Kanäle gemeinsam propagieren, kommen zusätzliche nichtlineare Kopplungsterme hinzu, was die Sache noch komplizierter macht.

Lösen der Gleichungen mit Fourier-Verfahren

Effekte wie die chromatische Dispersion sowie wellenlängenabhängige Verstärkung und Verluste behandelt man üblicherweise im Frequenzbereich. Das bedeutet, dass man auf die oben erwähnte Zeitspur einen Fourier-Transformations-Algorithmus anwenden muss (meist eine schnelle Fourier-Transformation = FFT), um ein Feld komplexer Amplituden im Frequenzbereich zu erhalten. Dort lassen sich frequenzabhängige Phasen- und/oder Amplitudenänderungen leicht anwenden. (Die zweite Zeitableitung, die der Dispersion zweiter Ordnung entspricht, entspricht etwa einem einfachen Multiplikationsfaktor ($-\omega^2$) im Frequenzbereich.) Mit einer Rücktransformation gelangt man zurück in den Zeitbereich.

Üblicherweise verwendet man eine Art Split-Step-Fourier-Algorithmus. Effiziente Berechnungen erfordern oft eine automatische Schrittweitensteuerung, da an Stellen in der Faser, an denen ein Puls durch Verstärkung und/oder dispersive Kompression eine hohe Spitzenleistung erreicht, eine weit kleinere numerische Schrittweite nötig sein kann. Die Terme für eine verzögerte nichtlineare Antwort (Raman-Streuung) korrekt zu behandeln, ist besonders schwierig; für eine effiziente Lösung sind zusätzliche Fourier-Transformationen nötig.

Software hilft

Auch wenn die technischen Details der Ausbreitung ultrakurzer Pulse recht kompliziert sind, macht es eine leistungsfähige Simulationssoftware dem Anwender relativ einfach, solche Dinge zu berechnen und zu simulieren. Der Software müssen geeignete Faserdaten zu Dispersion und Nichtlinearitäten vorgegeben werden, und meist muss der Anwender auch die numerischen Parameter zur Darstellung der Pulse festlegen – etwa die Breite der Zeitspuren, die Zahl der Abtastpunkte und die Mittenwellenlänge. Diese bestimmen zusammen den Frequenz- (oder Wellenlängen-)Bereich, der sich numerisch darstellen lässt.

Ein gutes Softwarewerkzeug kann solche Berechnungen nicht nur zuverlässig und schnell erledigen, sondern die berechneten Ergebnisse auch bequem darstellen. Als Beispiel zeigt Abbildung 1 das interaktive Fenster zur Pulsdarstellung der Software RP Fiber Power, mit dem sich Pulse an jeder Stelle der Faser leicht inspizieren lassen. Ein interaktives Fenster sollte allerdings nicht der einzige Zugang zu den Daten sein; unsere Software bietet auch eine sehr vielseitige Power Form für Ultrakurzpuls-Verstärker. Selbst komplexe mehrstufige Verstärkersysteme lassen sich damit recht einfach simulieren.

Anforderungen für einige Beispielfälle

Für die praktische Arbeit können verschiedene Simulationsszenarien relevant sein:

• Einfache Fälle erfordern nur die Propagation in einem einzelnen Durchgang, etwa von Signalpulsen durch einen Faserverstärker. Man möchte die resultierenden Pulse dann womöglich nicht nur am Ausgangsende inspizieren, sondern an jeder Stelle innerhalb der Faser.
• Man kann es auch mit einer Abfolge verschiedener Fasern und möglicherweise weiterer optischer Elemente zu tun haben, die die Pulse beeinflussen. Eingangspulse können etwa durch einen Pulsstrecker, dann durch die aktive Faser und schließlich durch einen Pulskompressor geschickt werden, um das Prinzip der Chirped-Pulse-Verstärkung zu nutzen. Es ist dann höchst wünschenswert, dass die Software flexibel genug ist, um etwa Diagramme zu erzeugen, in denen beliebige Parameter der resultierenden Pulse als Funktionen beliebiger Systemparameter aufgetragen werden.
• Bei der Untersuchung modengekoppelter Faserlaser muss man womöglich nicht nur einen einzelnen Umlauf im Laserresonator untersuchen (der mehrere optische Elemente enthalten kann, darunter aktive und passive Fasern, Modulatoren, optische Filter, sättigbare Absorber usw.), sondern die Entwicklung über viele Umläufe. Man möchte den Puls vielleicht sogar automatisch propagieren lassen, bis er den stationären Zustand erreicht (sofern dieser existiert), und das für einen ganzen Parameterbereich. (Natürlich sollte die Software automatisch feststellen können, wann der stationäre Zustand näherungsweise erreicht ist.) Man kann etwa die erreichte Pulsdauer (möglicherweise nach einem automatisch angepassten Pulskompressor) als Funktion der chromatischen Dispersion im Laserresonator auftragen.

Eine einfache Simulationssoftware bietet vielleicht Einzeldurchgangs-Simulationen mit allen relevanten Details, ist aber für anspruchsvollere Untersuchungen etwa an modengekoppelten Lasern nicht brauchbar. Müsste man etwa jeden Puls von Hand von einer Faser zur nächsten übertragen oder die folgenden Umläufe von Hand durchführen, bis sich die Pulsparameter nicht mehr wesentlich ändern, so würde das Vorgehen schlicht viel zu mühsam. Eine leistungsfähige Skriptunterstützung zur Automatisierung solcher Abläufe, wie sie RP Fiber Power bietet, kann unverzichtbar sein.

Wir haben eine Fallstudie zu einem modengekoppelten Faserlaser veröffentlicht, die als schönes Beispiel dient. Es handelt sich um einen Laser mit durchweg normaler Dispersion, der eine relativ komplizierte Dynamik der Pulsbildung zeigt. Abbildung 2 stammt aus dieser Fallstudie; sie zeigt, wie das optische Spektrum des umlaufenden Pulses gegen den stationären Zustand konvergiert und dabei eine nahezu rechteckige spektrale Form annimmt.

Abbildung 3 zeigt, wie sich die Pulsparameter dem stationären Zustand nähern. Diese Parameter sind stets für den Puls angegeben, wie er unmittelbar vor dem Auftreffen auf den Auskoppelspiegel vorliegt. Man könnte nun verschiedene Parameter des Laserresonators ändern, um zu prüfen, wie sie die Konvergenz zum stationären Zustand beeinflussen.

Abbildung 4 zeigt, wie die Pulsparameter innerhalb des Resonators variieren (im stationären Zustand). Man sieht, dass von links nach rechts die Pulsdauer erheblich ansteigt, während die Pulsbandbreite nur leicht zunimmt. Beide Parameter werden durch ein Bandpassfilter im Resonator zurückgesetzt.

Flexibilität ist entscheidend

An solchen Beispielen sieht man, dass die hohe Flexibilität eines gut gemachten Simulationswerkzeugs nicht bloß angenehm, sondern für die tatsächliche Arbeit unerlässlich ist. Es genügt nicht, einen Umlauf im Laserresonator simulieren zu können; man muss auch verschiedenste Darstellungen erzeugen, um klar zu verstehen, was in solchen Lasern geschieht. Zudem braucht man ein flexibles interaktives Werkzeug, um Pulse an beliebiger Stelle im Resonator zu inspizieren, besonders wenn man noch keine geeigneten Parameter für eine stabile Pulsbildung gefunden hat. Sind die entscheidenden Faktoren für die Pulsstabilität einmal erkannt, so könnte man etwa eine Falschfarbendarstellung erzeugen, die die Pulsstabilität als Funktion zweier verschiedener Parameter zeigt.

Beachten Sie, dass die leistungsfähige Skriptsprache, wie unsere Software sie bietet, Ihnen ein Höchstmaß an Flexibilität gibt. Selbst wenn der Entwickler einer Software ohne diese Möglichkeit eine riesige Zahl verschiedener Diagramme vordefiniert hätte, werden Sie in der Praxis womöglich feststellen, dass das Benötigte außerhalb dieser Auswahl liegt. Deshalb möchten Sie alle Details von Diagrammen, Abfolgen von Fasern und anderen optischen Elementen, Optimierungsstrategien usw. selbst steuern können.

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