Tutorial: Modellierung und Simulation von Faserverstärkern und Faserlasern

Dies ist Teil 5 eines Tutorials über die Modellierung und Simulation von Faserverstärkern und Faserlasern von Dr. Paschotta.

Teil 5: Kontinuierlicher Betrieb von Verstärkern und Lasern

In diesem Abschnitt lernen Sie, wie man die optischen Leistungen berechnet, die im kontinuierlichen Betrieb von Faserverstärkern und Faserlasern im stationären Zustand auftreten. Wir propagieren dabei stets nur optische Leistungen, nicht ganze Felder (siehe Abschnitt 3), um alle Komplikationen der numerischen Strahlpropagation und die entsprechend schwierigeren Randbedingungen zu vermeiden. Glücklicherweise ist dieser Ansatz oft recht realistisch, da die Führungseigenschaften der Faser zu mehr oder weniger konstanten Intensitätsprofilen entlang der Faser führen.

Dieser Abschnitt enthält einige relativ knifflige Schritte. Beachten Sie jedoch, dass Sie sich damit nur befassen müssen, wenn Sie selbst eine Simulationssoftware entwickeln. Wenn Sie eine vorhandene Software nutzen, können Sie sich einfach an den Lösungen erfreuen.

Rufen wir uns zunächst aus Abschnitt 3 die Differentialgleichung für die optische Leistung eines bestimmten optischen Kanals in Erinnerung:

$$\frac{\partial P_j(z)}{\partial z} = \pm \left( g_j(z) - \alpha_j \right) \: P_j(z)$$

Die lokale Verstärkung ($g_j(z)$) hängt von den Anregungsgraden der laseraktiven Ionen ab, die ihrerseits von den optischen Intensitäten aller optischen Kanäle abhängen können. Wir müssen daher eine selbstkonsistente Lösung für die optischen Leistungen und Niveaubesetzungen entlang der gesamten Faser finden.

Gleichungen für die ASE müssen einen weiteren Term für die spontane Emission enthalten – allerdings nur für den kleinen Teil der emittierten Leistung, der im Faserkern geführt bleibt. Für eine einmodige Faser und ein Vier-Niveau-System zeigt sich, dass für die hinzukommende Leistung nur die lokale Verstärkung und die Bandbreite des optischen Kanals relevant sind. Eine rein geometrische Argumentation auf Basis eines begrenzten Akzeptanzwinkelbereichs, definiert durch die numerische Apertur der Faser, erweist sich nur für stark mehrmodige Fasern als angemessen. Mehr dazu finden Sie in einem Blogartikel über ASE.

Berechnung der lokalen Verstärkung

Bevor wir uns Lösungen dieser Gleichungen ansehen, besprechen wir, wie sich die lokale Verstärkung ($g_j(z)$) aus gegebenen optischen Leistungen der Kanäle berechnen lässt. In der einfachsten Art von Modell mit rechteckigen Intensitätsprofilen lässt sich die zu einem optischen Kanal gehörende Intensität als Leistung geteilt durch die Kernfläche berechnen. Für beliebige Intensitätsprofile ist das Vorgehen etwas komplizierter, selbst wenn wir konstante Formen der Intensitätsprofile annehmen (etwa wegen einer einzigen Fasermode pro Kanal):

• Nehmen wir an, dass die Intensität nur radial (nicht azimutal) abhängt, so können wir den Faserkern mathematisch in eine Reihe von Ringen unterteilen (siehe Abbildung 1), also in Bereiche mit bestimmten Bereichen der radialen Koordinate, innerhalb derer die Intensität nicht stark variiert. (Gibt es auch eine azimutale Abhängigkeit, so müssen wir die Ringe zusätzlich in Winkelabschnitte unterteilen. Bei einem nicht symmetrischen Wellenleiter kann ein rechtwinkliges Gitter geeigneter sein.)
• Für jeden Ring lässt sich die gegebene optische Leistung durch die Fläche des Rings teilen, um die Intensität zu erhalten.
• Mit den Ratengleichungen können wir nun für jeden Ring aus den Intensitäten die anteiligen Anregungen aller relevanten Niveaus berechnen.
• Aus den anteiligen Anregungen erhalten wir den Verstärkungskoeffizienten innerhalb jedes Rings. Verschiedene Übergänge können dazu beitragen, sofern sie bei der Wellenlänge des optischen Kanals von null verschiedene Übergangsquerschnitte haben. Jeder Beitrag enthält das Produkt aus Dotierungsdichte, anteiliger Anregung eines Niveaus und Übergangsquerschnitt.
• Die Gesamtverstärkung an der gegebenen ($z$)-Position ergibt sich als Summe der Beiträge aller Ringe. Je höher die optische Intensität in einem Ring und je größer seine Fläche ist, desto höher ist sein Beitrag zur Gesamtverstärkung. Das bedeutet, dass die Gesamtverstärkung eine Art gewichteter Mittelwert über die Verstärkungswerte in allen Ringen ist.

Lösen der Propagationsgleichungen für Verstärker und Laser

Nun überlegen wir, wie sich die selbstkonsistente Lösung für die optischen Leistungen und Niveaubesetzungen finden lässt. Im Allgemeinen ist das ziemlich schwierig, in einfacheren Fällen aber leicht möglich.

Im einfachsten Fall läuft alles Licht nur in eine Richtung – etwa Pump- und Signallicht in einem gleichlaufend gepumpten Faserverstärker. Hier kann man folgendermaßen vorgehen:

• Am Eingangsende der Faser sind alle optischen Leistungen und damit auch die Intensitäten bereits bekannt. Daraus lassen sich die lokalen Verstärkungswerte (oder die Absorption für die Pumpwelle) berechnen und daraus die Ableitungen der Leistungen nach ($z$).
• Mit diesen Daten kann man die Leistungen über eine kleine Strecke in die Faser hinein propagieren, um die optischen Leistungen an diesem Punkt zu erhalten. Wieder lassen sich die Niveaubesetzungen, die Verstärkung und die Ableitungen der Leistungen berechnen.
• Dieses Verfahren iteriert man einfach, bis man das Ausgangsende erreicht.

Effektiv haben wir es mit einem einfachen Anfangswertproblem zu tun. Abbildung 2 zeigt die Ergebnisse eines Beispielfalls. Hier nimmt die Pumpleistung durch die Pumpabsorption ab, während die Signalleistung steigt. Beachten Sie, dass der Abfall der Pumpleistung kein exponentieller Abfall ist, weil wir erhebliche Sättigungseffekte haben. Das ist in Faserbauelementen sehr üblich, die typischerweise bei sehr hohen Intensitäten betrieben werden. Eine der Folgen davon ist, dass die nötige Faserlänge für einen Verstärker weit größer sein kann, als man aufgrund einer einfachen Abschätzung ohne Sättigungseffekte erwarten würde.

Für einen Verstärker mit gegenläufiger Pumpe und Signal lässt sich das erklärte Verfahren nicht direkt anwenden, da wir an jedem Ende nur eine der Leistungen kennen (Signal oder Pumpe). Es gibt jedoch eine relativ einfache Erweiterung des Algorithmus, das “Schießverfahren” (shooting method):

• Beginnen Sie am Signal-Eingangsende mit einem geschätzten Wert für die dort verbleibende Pumpleistung.
• Propagieren Sie beide Felder zum anderen Ende. Die Pumpleistung wächst in dieser Richtung, da sie rückwärts läuft.
• Vergleichen Sie die resultierende Pumpleistung am Signal-Ausgangsende mit der tatsächlichen Pump-Eingangsleistung und korrigieren Sie auf dieser Basis Ihre Schätzung für die verbleibende Pumpleistung am Signal-Eingangsende.

Mit wenigen Iterationen finden Sie die selbstkonsistente Lösung. Das nötige numerische Verfahren ist einfach; im Wesentlichen hat man es mit einem eindimensionalen Nullstellenproblem zu tun.

Abbildung 3 zeigt die Ergebnisse eines Beispielfalls – derselbe wie für Abbildung 2, nur dass die Pumpwelle nun von rechts nach links läuft. Übrigens lässt sich zeigen, dass die restliche Pumpleistung (wie auch die Signalverstärkung) dieselbe sein muss wie im vorigen Fall, solange die ASE keine Rolle spielt. In diesem Fall hätte man die Iteration also vermeiden und die restliche Pumpleistung einfach aus dem Fall mit gleichlaufenden Wellen übernehmen können.

Trotz der gleichen Ausgangsleistungen in beiden Fällen ist die Verteilung der Ytterbium-Anregung entlang der Faser sehr verschieden. Aus diesem Grund können auch die ASE-Ausgangsleistungen in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung sehr verschieden sein.

Dieses Verfahren weiter zu erweitern, um auch die verstärkte Spontanemission (ASE) einzubeziehen, ist leider nicht einfach. Die Herausforderung besteht darin, dass man ein mehrdimensionales Nullstellenproblem erhält, das erheblich schwieriger ist. Die starken exponentiellen Abhängigkeiten in einem System hoher Verstärkung machen es nicht gerade leichter …

Für einen Faserlaser-Resonator ist die nötige Erweiterung des Verfahrens dagegen nicht schwierig. Hier können wir am Pump-Eingangsende mit einem geschätzten Wert der vorwärts laufenden Signalleistung an diesem Punkt beginnen. Wir propagieren dann Pumpleistung sowie vorwärts und rückwärts laufende Signalleistung numerisch zum anderen Ende. Das Verhältnis von vorwärts und rückwärts laufender Signalleistung zusammen mit der Reflektivität für die Signalwelle an diesem Ende sagt uns, ob die verwendete Schätzung zu hoch oder zu niedrig war.

Abbildung 4 zeigt die Ergebnisse eines Beispielfalls. Für die Signalleistung von 148 mW am linken Ende sind die Signalleistungen am rechten Ende mit der gewählten Reflektivität des Auskoppelspiegels von 10 % konsistent.

Da Faserlaser meist keine sehr hohe Signalverstärkung haben, lässt sich die ASE (oder zumindest ihr Einfluss auf die Niveaubesetzungen) meist vernachlässigen.

Andere Algorithmen

Leider sind die erklärten, relativ einfachen mathematischen Kniffe wegen der schwierigen mehrdimensionalen Nullstellensuche bei mehreren gegenläufigen Wellen nicht immer geeignet. Deshalb wurden andere Algorithmen entwickelt – insbesondere Relaxationsverfahren. Die Grundidee besteht darin, mit einer geschätzten Verteilung der Niveaubesetzungen zu beginnen und alle optischen Leistungen auf dieser Basis zu propagieren. Danach berechnet man die Niveaubesetzungen anhand der erhaltenen optischen Leistungen neu. Durch Wiederholung dieser Schritte gelangt man hoffentlich zur Lösung.

Da jede Welle numerisch in ihrer tatsächlichen Ausbreitungsrichtung propagiert werden kann, braucht man keine geschätzten Startwerte mehr. In einem Lasermodell sind etwa die Startwerte für die Signalleistungen in beiden Richtungen zu Beginn ebenfalls nicht bekannt, doch man kann stets den Wert aus der letzten Iteration verwenden.

Es ist jedoch wiederum schwierig, einen Algorithmus umzusetzen, der zuverlässig zur Lösung konvergiert. Oft wendet man eine Art Dämpfungsmechanismus an, um Konvergenz zu erreichen. Das kann die Konvergenz allerdings recht langsam machen.

Es mag recht einfach sein, die numerischen Parameter eines Algorithmus von Hand so einzustellen, dass er in einem gegebenen Fall konvergiert. Weit schwieriger ist es jedoch, einen Algorithmus zu entwickeln, der in allen Fällen zuverlässig und effizient konvergiert. Beachten Sie, dass die in der Praxis auftretenden Fälle sehr vielfältig sein können, mit unterschiedlichen Gerätekonfigurationen, unterschiedlichen spektroskopischen Daten, unterschiedlichen Intensitätsbereichen usw. Laser bereiten besondere Schwierigkeiten, etwa weil kleine Fehler in der Verstärkung dazu führen können, dass die Signalleistungen erheblich von der Lösung wegdriften.

Für unser Produkt RP Fiber Power haben wir einen recht ausgefeilten Algorithmus auf Basis der allgemeinen Idee der Relaxationsverfahren entwickelt. Er nutzt zusätzlich verschiedene numerische Kniffe, die auf physikalischer Einsicht beruhen. (Mit numerischen Allzweckbibliotheken könnte man von solchen spezialisierten Ideen nicht profitieren!) Es hat erhebliche Mühe und viel Zeit gekostet, ihn bis zu dem Punkt zu entwickeln, an dem er in einer großen Bandbreite von Testfällen sehr gut funktioniert. Der Algorithmus arbeitet nun sehr effizient und findet die Lösung in sehr kurzer Rechenzeit. Zudem ist es lange her, dass ein Kunde einen Fall vorlegte, in dem keine Konvergenz erreicht wurde.

Studierende möchten vielleicht versuchen, einen Algorithmus umzusetzen, der zumindest die einfacheren Fälle bewältigt. Seien Sie aber gewarnt: Für eine stabile und effiziente Allzwecklösung ist sehr viel harte Arbeit nötig.

Berechnung der Laserwellenlänge

In der Diskussion über Faserlaser haben wir bisher implizit angenommen, dass die Laserwellenlänge bereits bekannt ist: ein gegebener Parameter der entsprechenden optischen Kanäle. Das ist jedoch nicht immer der Fall. Manche Laserresonatoren enthalten kein stark wellenlängenselektives Element (etwa ein Faser-Bragg-Gitter), das die Emissionswellenlänge festlegt. Der Laser kann die Emissionswellenlänge dann selbst wählen. Wie lässt sich dieser Aspekt in einem Modell behandeln?

Betrachten wir zunächst die beteiligte Physik. Wird der Laser gepumpt, so steigt die Anregung der laseraktiven Ionen, bis der Laser die Laserschwelle erreicht. Das ist der Fall, wenn die Nettoverstärkung pro Umlauf bei irgendeiner Wellenlänge 0 dB wird. Diese Wellenlänge wird die endgültige Emissionswellenlänge sein: Licht bei anderen Wellenlängen, das eine geringere Nettoverstärkung pro Umlauf hat (also weniger als 0 dB), hat keine Chance, nennenswerte Leistung zu erreichen. Beachten Sie, dass die resultierende Emissionswellenlänge oft von der Faserlänge und von den Resonatorverlusten abhängt, da bei Quasi-Drei-Niveau-Laserübergängen, wie sie in aktiven Fasern typisch sind, die Form des Verstärkungsspektrums vom Anregungsgrad abhängt.

Ein konzeptionell einfacher Ansatz wäre, ein Modell mit einer großen Zahl optischer Kanäle bei verschiedenen Wellenlängen zu konstruieren, bei denen Laserbetrieb auftreten könnte. Das Computermodell sollte dann das richtige Ergebnis liefern – Laserbetrieb nur auf den optischen Kanälen (in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung) mit der höchsten Nettoverstärkung. Das ist jedoch numerisch nicht effizient und liefert womöglich auch nicht genau die richtige Wellenlänge, da wir stets mit einer begrenzten Menge von Wellenlängen arbeiten müssen.

Ein alternativer Ansatz, der effizienter und genauer ist, verwendet nur ein einziges Paar optischer Kanäle für eine bestimmte Laserwellenlänge. Für jede Einstellung dieser Wellenlänge lässt sich der mittlere Anregungsgrad der laseraktiven Ionen berechnen – natürlich nachdem die Endreflektivitäten passend zur gewählten Wellenlänge gesetzt wurden. Man kann diese Wellenlänge dann numerisch variieren, bis die mittlere Anregung ihr Minimum erreicht. Ein solcher Algorithmus lässt sich mit einer flexiblen Simulationssoftware wie RP Fiber Power leicht umsetzen; sie bietet auch eine Power Form, die einen solchen Algorithmus verwendet.

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