Tutorial: Modellierung der Pulsverstärkung

Für eine erfolgreiche physikalische Modellierung empfiehlt es sich stets, mit einer sorgfältigen Überlegung zum verwendeten Modelltyp zu beginnen, also im Wesentlichen dazu, welche physikalischen Effekte berücksichtigt werden müssen. Das am besten geeignete Modell ist oft nicht das umfassendste, sondern dasjenige, das alles Relevante enthält und dabei unnötige Komplikationen vermeidet – das spart nicht nur Rechenzeit, sondern hilft dem Anwender auch, die Aufmerksamkeit auf das Wesentliche zu richten.

Im Zusammenhang mit der Pulsverstärkung müssen wir überlegen, ob chromatische Dispersion und nichtlineare Effekte zu berücksichtigen sind und wie die Verstärkungssättigung zu behandeln ist. Eine weitere Frage ist, ob Laufzeiten berücksichtigt werden müssen. Einige dieser Fragen sind nicht trivial zu beantworten.

Ein Neuling wählt leicht einen technischen Ansatz, der entweder zu stark vereinfacht ist, also keine korrekten Ergebnisse liefert, oder unnötig kompliziert und zeitaufwendig in der Anwendung. Der Nutzen einer professionellen, hochwertigen Software für solche Aufgaben liegt daher nicht nur darin, dass die passenden Modelltypen verfügbar und korrekt umgesetzt sind, sondern auch darin, dass der technische Support sehr hilfreich sein kann, um den besten Weg zu finden.

Effekte der chromatischen Dispersion beruhen darauf, dass verschiedene Details der Ausbreitung von der optischen Frequenz abhängen und dass ein Lichtpuls im Allgemeinen ein optisches Spektrum über einen gewissen Frequenzbereich hat.

Für die Verstärkung ultrakurzer Pulse, also von Lichtpulsen mit Pikosekunden- oder Femtosekunden-Dauern, sind Effekte der chromatischen Dispersion meist recht relevant. Die Gruppengeschwindigkeit des Lichts variiert innerhalb des Frequenzbereichs des optischen Spektrums der Pulse hinreichend stark, um zu erheblichen Änderungen der zeitlichen Pulsform zu führen. Im Bereich normaler Dispersion etwa brauchen die kurzwelligeren Komponenten länger durch einen Verstärker als die langwelligeren, und das führt typischerweise zu einem “Verschmieren” der Leistung über die Zeit, also zu einer Pulsverbreiterung. Dieses einfache Bild ist recht anschaulich, vernachlässigt aber das Zusammenspiel mit nichtlinearen Effekten (siehe unten), das die Sache erheblich komplizierter machen kann. So kann man sogar Effekte der Pulskompression erhalten.

In Bereichen mit längeren Pulsdauern – etwa einer Nanosekunde oder mehr – hat die chromatische Dispersion meist keine nennenswerten Wirkungen. Selbst wenn die Pulse nicht bandbreitenbegrenzt sind, also eine größere optische Bandbreite haben als das durch die Fourier-Transformation vorgegebene Minimum, sind die resultierenden Unterschiede der Gruppenlaufzeit innerhalb des Spektrums nicht groß genug, um für die Form des Ausgangspulses relevant zu werden.

Lichtpulse können optische Energie auf eine kurze Zeitspanne konzentrieren, was eine hohe Spitzenleistung bedeutet – oft um viele Größenordnungen höher als die mittlere Leistung eines Pulszugs. Zudem laufen Laserpulse durch einen optischen Verstärker meist mit recht kleiner effektiver Modenfläche – besonders bei einem Faserverstärker. Dadurch können die Pulse sehr hohe optische Intensitäten haben, die leicht zu erheblichen nichtlinearen Effekten führen – besonders wenn das Verstärkungsmedium lang ist, wie es bei einem Faserverstärker meist der Fall ist. Schon im Bereich der Nanosekunden-Pulse und erst recht im Pikosekunden- und Femtosekundenbereich werden nichtlineare Effekte dann recht relevant. Für ultrakurze Pulse ist das oft ein wesentlicher Faktor, der die erreichbare Leistungsfähigkeit des Verstärkers begrenzt.

Man könnte meinen, dass wir bei der Modellierung der Verstärkung kurzer Lichtpulse daher praktisch immer optische Nichtlinearitäten berücksichtigen müssen. Das stimmt jedoch nicht. Selbst wenn der Kerr-Effekt eine starke Selbstphasenmodulation der Pulse verursacht, wirkt sich das im Nanosekundenbereich meist nicht auf die zeitliche Pulsform oder die Pulsdauer aus. Auch die resultierende spektrale Verbreiterung ist typischerweise zu schwach, um die Verstärkung über deren Wellenlängenabhängigkeit zu beeinflussen. Selbst wenn nichtlineare Effekte im Sinne einer starken Selbstphasenmodulation stark sind, dürfen wir das in einem Simulationsmodell daher vollständig vernachlässigen – und es so gestalten, dass es nur die Entwicklung der optischen Leistung berechnet und die optische Phase nicht betrachtet. Das folgende Diagramm zeigt ein Beispiel dafür; hier haben wir eine vollständige Simulation mit nichtlinearen und dispersiven Effekten durchgeführt, hätten aber mit einfacher Leistungspropagation im Wesentlichen dieselbe Form des Ausgangspulses erhalten.

Interessiert die resultierende Selbstphasenmodulation, so können wir sie immer noch getrennt aus der vom Modell gelieferten Entwicklung der Spitzenleistung berechnen. Genauer brauchen wir das B-Integral (berechnet für das Pulsmaximum), und das Modell kann es aus der berechneten Leistungsentwicklung liefern. Auf Basis des B-Integrals können wir die zeitabhängige nichtlineare Phasenverschiebung einfach zur erhaltenen Leistung über der Zeit hinzufügen, und daraus lässt sich auch das optische Spektrum in einem Sekundenbruchteil berechnen.

Im Pikosekunden- oder Femtosekundenbereich würde dieser Ansatz nicht funktionieren, da die nichtlinearen Phasenänderungen das optische Spektrum und damit die Wirkung der chromatischen Dispersion stärker beeinflussen. (Die nichtlineare Phasenmodulation ist in diesem Bereich nicht nur meist stärker, sondern auch viel schneller!) Sogar die Wirkung der spektralen Verbreiterung auf die effektive Verstärkung kann bedeutend sein. Insgesamt erhalten wir oft ein kompliziertes Zusammenspiel nichtlinearer und dispersiver Effekte, das nicht nur zu einer zeitlichen Verbreiterung, sondern sogar zum vollständigen Zerfall von Pulsen führen kann. Dieser Pulszerfall kann zudem empfindlich auf Einflüsse des Quantenrauschens reagieren.

Lassen sich dispersive und nichtlineare Effekte vernachlässigen, so können wir ein dynamisches Simulationsmodell auf Basis einfacher Leistungspropagation verwenden. (“Dynamisch” bedeutet einfach, dass wir es mit zeitabhängigen Größen zu tun haben.) Ein Lichtpuls wird hier einfach durch seine optische Leistung über der Zeit charakterisiert – zumindest in einem einmodigen Modell. (Abschnitt 4 behandelt mehrmodige Fälle.) Für mehrmodige Fälle kann man auch ein Strahlpropagations-Modell verwenden, bei dem wir für jede ($z$)-Position statt eines einfachen Leistungswerts ein zweidimensionales Feld optischer Intensitäten haben; das führt zu zeitaufwendigeren, aber nicht grundsätzlich schwierigeren Simulationen, solange wir quasi-monochromatisches Licht haben.

Im einmodigen Fall haben wir einfache Differentialgleichungen für die Leistungen aller beteiligten optischen Kanäle, wie ich sie nenne – etwa nur eines Pump- und eines Signalkanals. Wir könnten auch zwei Pumpen (etwa gegenläufige) und mehrere Signale bei verschiedenen Wellenlängen haben, dazu möglicherweise viele weitere Kanäle für die ASE – einfach mehr Differentialgleichungen, aber nichts grundsätzlich anderes. Diese Differentialgleichungen enthalten auch die lokale Anregung des Verstärkungsmediums, die ihrerseits durch die Verstärkungssättigung beeinflusst werden kann (siehe den nächsten Teil), sodass wir effektiv gekoppelte Differentialgleichungen haben.

Die Lösung dieser Gleichungen als Anfangswertproblem ist nicht besonders schwierig. Im Grunde können wir für jeden Zeitpunkt die ersten zeitlichen und räumlichen Ableitungen aller Leistungen und die zeitlichen Ableitungen der Anregungen berechnen und mit diesen Werten alle diese Größen in Zeit und Raum vorwärts propagieren. Das funktioniert selbst dann, wenn gegenläufige Wellen beteiligt sind.

Mit unserer Software RP Fiber Power lassen sich solche Simulationen leicht durchführen. Für einen solchen Verstärker haben wir etwa ein Demo-Skript, das auch ein schönes benutzerdefiniertes Formular enthält:

Es ist recht einfach, eine Faser auszuwählen, verschiedene Betriebsparameter einzugeben und die Simulation zu starten, die einige numerische Ausgaben im Formular selbst liefert (Ausgabefelder mit grauem Hintergrund) sowie Diagramme. Eines davon ist hier gezeigt; mehr dazu wird im nächsten Teil erklärt.

Lichtpulse brauchen eine gewisse Zeit, um durch einen Verstärker zu laufen, und im Prinzip kann das für eine korrekte Simulation seiner Funktion relevant sein. Betrachten Sie etwa einen Fall mit gegenläufiger gepulster Pumpe, bei dem ein Signalpuls mit einer gewissen Verzögerung am Ausgangsende ankommt. An diesem Ende tritt das Pumplicht in die Faser ein (ohne Zeitverzögerung). Die Laufzeit verändert also die zeitliche Beziehung von Signal und Pumpe. Das erweist sich jedoch für praktisch alle Faserverstärker als völlig vernachlässigbarer Aspekt. Der Grund ist einfach, dass Laufzeiten in einigen Metern Faser nur in der Größenordnung von 10 ns liegen, während Lebensdauern des oberen Laserniveaus und typische Pumpzeiten hunderte von Mikrosekunden oder mehr betragen. Wir können Laufzeiten in unseren Modellen also gefahrlos ignorieren und so simulieren, als könnten Pulse die ganze Faser augenblicklich durchlaufen.

Ganz anders liegt die Sache etwa bei gütegeschalteten Faserlasern; dort ist die Umlaufzeit für die resultierende Pulsdauer sehr relevant. In der Software RP Fiber Power lassen sich daher dynamische Modelle erstellen, die Laufzeiten berücksichtigen. Nur erzwingt das kleinere Zeitschritte und kann die Berechnungen daher erheblich verlangsamen. Es ist also gut zu wissen, dass wir das für Verstärkermodelle meist nicht brauchen.

Für ultrakurze Pulse, bei denen auch die optische Phase als Funktion der Zeit oder der optischen Frequenz sehr wichtig ist, brauchen wir einen erheblich ausgefeilteren Typ von Simulationsmodell. Ein solches Modell ist in unserer Software umgesetzt; sein Funktionsprinzip wird im Folgenden kurz beschrieben:

• Der Puls lässt sich im Zeitbereich durch ein Feld komplexer Amplituden darstellen. Dieses Feld muss einen hinreichend breiten Zeitbereich überdecken (typischerweise ein Mehrfaches der Pulsdauer), sodass der Puls während der gesamten Propagation weit genug von den Rändern entfernt bleibt. Zudem muss das Feld hinreichend viele Amplituden enthalten, um eine ausreichende zeitliche Auflösung zu haben.
• Als Amplituden verwenden wir nicht direkt das schnell oszillierende elektrische Feld, sondern eine “langsam veränderliche Amplitude” (nun ja, so langsam ist sie eigentlich nicht…), bei der wir die schnelle optische Oszillation bei der Mittenfrequenz herausnehmen.
• Manche Effekte lassen sich im Zeitbereich anwenden – etwa die Selbstphasenmodulation durch den Kerr-Effekt.
• Mit einem Algorithmus zur schnellen Fourier-Transformation (FFT) kann die Software diese Amplituden in den Frequenzbereich bringen. Dort lassen sich frequenzabhängige Effekte wie die Verstärkung und die chromatische Dispersion bequem anwenden. Eine Split-Step-Fourier-Methode wird verwendet, um regelmäßig zwischen Zeit- und Frequenzbereich zu wechseln und alle Wechselwirkungen für jeden räumlichen Propagationsschritt passend anzuwenden.
• Sogar die stimulierte Raman-Streuung und das Self-Steepening lassen sich berücksichtigen. Nur erfordern SRS-Simulationen eine recht feine zeitliche Auflösung (um den relevanten Spektralbereich abzudecken) und sind daher meist relativ langsam.

Zur Steuerung all dessen bietet unsere Software verschiedene Funktionen

• um einen Puls nacheinander durch verschiedene Elemente zu schicken (etwa eine verstärkende Faser, eine passive Faser oder ein optisches Filter),
• um berechnete Pulseigenschaften abzurufen und
• um verschiedene weitere Dinge zu steuern, etwa das Speichern oder Abrufen ganzer Pulse, das Wechseln zwischen Pulsen und das Festlegen eines Startpulses.

Solche Funktionen lassen sich in Skripten verwenden. Auch hier bringt unsere Software viele Demo-Skripte mit, etwa eines für einen Faserverstärker für (nicht ultrakurze) Pulse, das ebenfalls ein benutzerdefiniertes Formular enthält:

Als Beispiel zeigt das folgende Diagramm, wie sich die Pulsparameter entlang der aktiven Faser eines Faserverstärkers entwickeln.

Einige Schlussfolgerungen aus diesem Teil des Tutorials:

• Im Bereich der Nanosekunden-Pulse können wir bei der Simulation der Leistungsentwicklung die chromatische Dispersion und optische Nichtlinearitäten normalerweise vernachlässigen. Das bedeutet, dass wir einfache Leistungspropagation verwenden können. Auf Basis der berechneten Leistungen lassen sich bei Bedarf immer noch einige nichtlineare Effekte berechnen.
• Für Pikosekunden- und Femtosekunden-Pulse müssen wir nichtlineare und dispersive Effekte im Verstärkermodell meist vollständig behandeln. Das ist mit einem ausgefeilteren Typ von Simulationsmodell möglich.

Übrigens brauchen wir meist auch ein Modell, das mit Quasi-Drei-Niveau-Lasermedien umgehen kann, da die meisten Faserverstärker solche Übergänge haben. Dieses Thema ist allerdings nicht spezifisch für die Pulsverstärkung.

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