Tutorial: Passive Faseroptik

Dies ist Teil 10 eines Tutorials über passive Faseroptik von Dr. Paschotta.

Teil 10: Chromatische Dispersion von Fasern

Die chromatische Dispersion ist das Phänomen, dass die Phasengeschwindigkeit und die Gruppengeschwindigkeit von Licht, das sich in einer Faser ausbreitet, von der optischen Frequenz abhängen. Sie ist für viele Anwendungen der Faseroptik relevant. Beispielsweise hat sie einen starken Einfluss auf die Ausbreitung von Telekom-Signalen in der optischen Nachrichtentechnik und auf die Ausbreitung ultrakurzer Pulse.

Ursachen der chromatischen Dispersion

In optischen Fasern entsteht die Dispersion aus zwei völlig verschiedenen Ursachen:

• Das Glasmaterial besitzt eine gewisse Materialdispersion, die z. B. für eine ebene Welle gilt, die sich in einem homogenen Stück dieses Glases ausbreitet. Das bedeutet, dass der Brechungsindex wellenlängenabhängig ist.
• Hinzu kommt die Wellenleiterdispersion: Die chromatische Dispersion wird dadurch verändert, dass wir in einer Faser keine ebenen Wellen vorliegen haben (auch wenn die Fasermoden normalerweise ebene Wellenfronten besitzen), sondern räumlich begrenzte Lichtwellen.

Wellenleiterdispersion verstehen

Die Wellenleiterdispersion lässt sich leichter verstehen, wenn man einen etwas künstlichen Fall betrachtet: eine Stufenindexfaser, deren Faserkern von einer Endfläche aus gesehen eine quadratische statt einer kreisförmigen Form hat, mit einer Breite ($a$) in ($x$)- und ($y$)-Richtung. Wir nehmen außerdem einen hohen Indexkontrast an, so dass zumindest die Moden niedriger Ordnung praktisch keine Intensität außerhalb des Kerns aufweisen. In dieser Situation ist jedes Modenfeld (innerhalb des Faserkerns) im Wesentlichen eine Überlagerung von vier ebenen Wellen. Jede dieser ebenen Wellen hat von null verschiedene Wellenvektorkomponenten sowohl in ($x$)- als auch in ($y$)-Richtung, entsprechend den vier möglichen Vorzeichenkombinationen ($\pm k_x$), ($\pm k_y$).

Da das Modenfeld an den Rändern des Kerns verschwinden muss, müssen die ($x$)-Komponenten des Wellenvektors die Bedingung ($k_x a = j_x \pi$) mit einem positiven ganzzahligen Modenindex ($j_x$) erfüllen. (($k_x$) ist der Phasenzuwachs pro Längeneinheit in ($x$)-Richtung.) Eine analoge Regel gilt für die ($y$)-Richtung. Abbildung 1 zeigt das transversale Amplitudenprofil für ($j_x$) = 3 und ($j_y$) = 4.

Für die chromatische Dispersion kommt es auf den Phasenzuwachs in ($z$)-Richtung an. Die Phasenkonstante ist:

$$\beta = \sqrt {{\left( \frac{2\pi n}{\lambda } \right)}^2 - k_x^2 - k_y^2} $$

Das ergibt sich aus einer einfachen Rechnung: Wir haben einen bestimmten Betrag des Wellenvektors, der durch die Wellenlänge und den Brechungsindex ($n$) des Kerns bestimmt ist, und dieser Wellenvektor hat transversale und longitudinale Komponenten, die sich nach dem Satz des Pythagoras addieren.

Wir sehen nun, dass Moden höherer Ordnung kleinere Phasenkonstanten ($\beta$) besitzen, im Wesentlichen deshalb, weil ihre Wellenvektorkomponenten stärker gegen die Faserachse geneigt sind. Das bedeutet, dass ihre Phasengeschwindigkeiten ($v_\mathrm{ph} = \omega / \beta$) höher sind als die der Grundmode (der Mode niedrigster Ordnung).

Die Gruppengeschwindigkeit ist der Kehrwert der Ableitung ($d\beta / d\omega$). Da jede Mode wellenlängenunabhängige Transversalkomponenten hat, steigt ihr ($\beta$) bei Moden höherer Ordnung schneller mit der Frequenz an. (Die Zunahme von ($2\pi n / \lambda$) mit steigender Frequenz ohne eine Zunahme der Transversalkomponente bedeutet einen schnelleren Anstieg der Longitudinalkomponente.) Daher haben Moden höherer Ordnung kleinere Gruppengeschwindigkeiten.

Dispersion einer Multimode-Faser

In einer realen Faser haben wir normalerweise eine kompliziertere Situation, bedingt durch die Kreissymmetrie, möglicherweise weiche Indexprofile und Moden, die deutlich in den Mantel hineinreichen. Verschiedene grundlegende Aspekte sind jedoch im Wesentlichen dieselben wie in dem oben diskutierten Beispiel. Als realistischeres Beispiel betrachten wir die Moden einer Germanosilikat-Multimode-Faser. Abbildung 2 zeigt das Indexprofil und die radialen Modenfunktionen.

Für unterschiedliche ($l$)-Werte werden verschiedene Farben verwendet.

Abbildung 3 zeigt die Gruppenindizes der Moden. (Die Gruppengeschwindigkeit ist ($c$) geteilt durch den Gruppenindex.) Sie steigen bei kurzen Wellenlängen aufgrund der Materialdispersion an. Die beiden grauen gestrichelten Kurven zeigen die Werte für den Kern (in seinem Zentrum) und für den Mantel; die Gruppenindizes der Moden liegen größtenteils höher als diese beiden Werte, was bereits auf den zusätzlichen Effekt der Wellenleiterdispersion hinweist.

Nahe der Grenzwellenlänge (dem Cut-off) einer Mode sinkt der Gruppenindex oft ab, d. h. die Gruppengeschwindigkeit steigt. Das hängt mit der schwächeren Modeneinschließung in diesem Bereich zusammen. Für Moden mit ($l = 0$) (schwarze Kurven) kann sich die Gruppengeschwindigkeit derjenigen des Mantels annähern.

Schließlich können wir die Gruppengeschwindigkeitsdispersion betrachten. Diese ist im Wesentlichen die Frequenzableitung der inversen Gruppengeschwindigkeit. Abbildung 4 zeigt, wie sich die Gruppengeschwindigkeiten aller Moden mit der Wellenlänge entwickeln. Sie liegen normalerweise zwischen den Werten für Kern und Mantel, wenn die Wellenlängen weit unterhalb der Grenzwellenlänge der Mode liegen, und steigen für Wellenlängen nahe dem Cut-off an.

Maßschneidern der Dispersion von Fasern

Natürlich hängen die Dispersionseigenschaften vom genauen Brechungsindexprofil ab. Das gibt uns beispielsweise die Möglichkeit, die Dispersionseigenschaften von Telekom-Fasern maßzuschneidern. Das wird insbesondere für einmodige Fasern gemacht, die in der Datenübertragung über große Entfernungen eingesetzt werden. So gibt es etwa dispersionsverschobene Fasern mit einem W-förmigen Indexprofil, bei denen die Nulldispersionswellenlänge vom 1,3-μm-Bereich (wo sie bei einmodigen Quarzglasfasern von Natur aus läge) in den 1,5-μm-Bereich verschoben wurde, in dem moderne Telekom-Systeme mit erbiumdotierten Faserverstärkern arbeiten. Verschwindende Dispersion ist tatsächlich nicht immer vorteilhaft; man verwendet auch dispersionsabgeflachte Fasern, die eine verringerte Wellenlängenabhängigkeit der Gruppengeschwindigkeitsdispersion aufweisen, d. h. eine geringe Dispersion höherer Ordnung.

Leider kann man nicht beliebige Dispersionsprofile erhalten. Für die üblichen reinen Glasfasern gibt es ernsthafte Einschränkungen. Beispielsweise lässt sich im sichtbaren Wellenlängenbereich keine anomale Dispersion (negative GVD) erzielen. Beachten Sie auch, dass man auf verschiedene Aspekte achten muss, etwa auf die effektive Modenfläche, die Biegeverluste und die Fertigungstoleranzen, und dass es dabei zu Zielkonflikten kommen kann.

Ein weit höherer Grad an Dispersionskontrolle ist mit photonischen Kristallfasern möglich, die winzige Luftlöcher enthalten. Die Anordnung der Luftlöcher lässt viel Spielraum für die Optimierung. Hier kann man z. B. anomale Dispersion im sichtbaren Wellenlängenbereich erhalten. Beachten Sie, dass die Berechnungen für solche Fasern schwieriger sind, da sie einen hohen Brechungsindexkontrast aufweisen und teilweise auf anderen Prinzipien der Lichtführung beruhen.

Beachten Sie jedoch, dass keiner dieser Ansätze ein Potenzial für die Dispersionskontrolle in Fasern mit großer Modenfläche bietet. Solche großen Moden haben stets Phasenkonstanten (($\beta$)-Werte) nahe bei der Wellenzahl im entsprechenden Kernmaterial der Faser, mit sehr kleinen Effekten der Wellenleiterdispersion. Das liegt im Wesentlichen daran, dass große Moden ein ähnliches Dispersionsverhalten zeigen wie ebene Wellen, mit schwachen Effekten der Beugung und der Wellenleitung.

Dispersion in faseroptischen Strecken

Man könnte meinen, chromatische Dispersion sei für die Übertragung von Telekom-Signalen in faseroptischen Strecken immer schlecht, da sie Signale zeitlich verbreitert und verzerrt. Tatsächlich kann die chromatische Dispersion (ebenso wie die Intermodendispersion) eine Dispersions-Leistungseinbuße (dispersion power penalty) mit sich bringen, d. h. man benötigt mehr optische Leistung, um dieselbe Bitrate zu erreichen. Daher schien es eine Zeit lang so, dass man faseroptische Strecken entweder im Wellenlängenbereich um 1,3 μm betreiben sollte, nahe bei der Nulldispersionswellenlänge (ZDW) von Standard-Quarzglasfasern, oder dispersionsverschobene Fasern mit der ZDW im Wellenlängenbereich um 1,5 μm einsetzen sollte, wo sich erbiumdotierte Faserverstärker verwenden lassen. Es stellte sich jedoch heraus, dass es insbesondere beim Einsatz von Wellenlängenmultiplex besser ist, eine gewisse Dispersion zu haben, da diese nichtlineare Effekte abschwächt. Weitere Einzelheiten finden Sie in Teil 11 über Nichtlinearitäten von Fasern und in Teil 12 über Pulse und Signale.

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