Tutorial: Passive Faseroptik

Dies ist Teil 12 eines Tutorials über passive Faseroptik von Dr. Paschotta.

Teil 12: Ultrakurze Pulse und Signale in Fasern

Wenn sich ultrakurze Pulse – mit Pulsdauern von Pikosekunden oder Femtosekunden – in einer Faser ausbreiten, können sie erhebliche zeitliche und spektrale Veränderungen erfahren, vor allem aufgrund der chromatischen Dispersion (Teil 10) und der Nichtlinearitäten (Teil 11). Hier geben wir einen Überblick über die wichtigsten Effekte.

Dispersive Pulsverbreiterung und Pulskompression

Wenn die optische Spitzenleistung niedrig genug ist, können nichtlineare Effekte vernachlässigt werden. Dennoch haben wir Effekte der chromatischen Dispersion. In Teil 10 dieses Tutorials haben wir bereits die Ursachen der Dispersion besprochen; hier betrachten wir einige Konsequenzen für die Pulsausbreitung.

Ein ultrakurzer Puls hat immer ein optisches Spektrum mit einer endlichen Bandbreite, d. h. er besteht aus verschiedenen Frequenzkomponenten. Der grundlegende Effekt der chromatischen Dispersion besteht nun darin, dass sich diese Frequenzkomponenten mit unterschiedlichen Gruppengeschwindigkeiten ausbreiten. Wenn sie beim eingekoppelten Puls alle zusammenfallen (wenn wir also einen “bandbreitenbegrenzten Puls” einkoppeln, mit der kleinstmöglichen Pulsdauer für die gegebene Bandbreite), treten die schnelleren Frequenzkomponenten am Faserende zuerst aus, gefolgt von den langsameren. Bei normaler Dispersion (positiver Gruppengeschwindigkeitsdispersion) sind die längerwelligen Komponenten die schnellsten; man beobachtet dann einen aufwärts gerichteten Chirp des Pulses, also eine ansteigende Momentanfrequenz.

Betrachten wir als Beispiel einen anfänglichen Puls mit Gaußscher zeitlicher Form, 1 pJ Energie, 100 fs Dauer und einer Zentralwellenlänge von 1000 nm. Dieser Puls hat eine Bandbreite von ≈0,44 / 100 fs = 4,4 THz. (Das Zeit-Bandbreite-Produkt eines bandbreitenbegrenzten Gaußschen Pulses beträgt ≈0,44.) Er wird in eine einmodige Faser mit einer Gruppengeschwindigkeitsdispersion von 10 000 fs²/m eingekoppelt. Die Pulsbandbreite von 4,4 THz entspricht dann einem Bereich von Laufzeiten von ($2\pi$) · 4,4 THz · 10 000 fs²/m = 276 fs/m. Wir erwarten also bereits nach 1 m Faser eine deutliche Verbreiterung.

Eine nützliche Faustregel ist tatsächlich, dass die dispersive Pulsverbreiterung erheblich wird, wenn die gesamte Gruppenlaufzeitdispersion (Gruppengeschwindigkeitsdispersion mal Faserlänge) das Quadrat der Pulsdauer erreicht. Für nicht bandbreitenbegrenzte Pulse kann die spektrale Verbreiterung stärker ausfallen, es kann aber auch Pulskompression auftreten.

Es ist gar nicht so schwierig, den Effekt der Pulsverbreiterung zu berechnen:

• Man bildet die Fourier-Transformierte der Form des Eingangspulses.
• Man wendet frequenzabhängige Phasenänderungen entsprechend der chromatischen Dispersion an: Man multipliziert einfach die komplexe Amplitude jeder Frequenzkomponente mit ($\exp(i (\beta_2/2) (\omega - \omega_0)^2) L$), wobei ($\beta_2$) die Gruppengeschwindigkeitsdispersion ist, ($\omega_0$) die Kreisfrequenz in der Mitte des Spektrums und ($L$) die Faserlänge.
• Man transformiert zurück in den Zeitbereich und hat damit den Puls im Zeitbereich. Man trägt seine Leistung, die Momentanfrequenz oder was auch immer gebraucht wird über der Zeit auf.

Natürlich ist es bequem, für solche Dinge ein Software-Werkzeug wie RP Fiber Power zu verwenden; Sie müssen nur den Eingangspuls, die Faser und die gewünschte Darstellung beschreiben. Abbildung 1 zeigt den zeitlichen Verlauf von Leistung und Momentanfrequenz für die Ausgangspulse nach 1 m und nach 10 m Faser.

Man erkennt, dass ein linearer Aufwärts-Chirp des Pulses entsteht, der in beiden Fällen denselben Frequenzbereich überspannt – eben die optische Bandbreite des Pulses. Beachten Sie, dass die Steigung dieses Chirps bei 10 m Faser geringer ist als nach 1 m, da derselbe Frequenzbereich nun innerhalb einer längeren Zeit durchlaufen wird. Die Regel “mehr Dispersion ergibt mehr Chirp” ist also völlig falsch, wenn man den Chirp in GHz/ps angibt; sie träfe nur ganz zu Beginn des Verbreiterungsprozesses zu.

Wenn wir dieselbe Simulation für 1 nJ statt 1 pJ Pulsenergie durchführen, erhalten wir zusätzlich erhebliche nichtlineare Effekte. (Das ist numerisch etwas schwieriger zu simulieren; üblicherweise verwendet man eine Split-Step-Fourier-Methode.) Die Selbstphasenmodulation vergrößert nun die spektrale Breite, so dass die dispersive Verbreiterung stärker ausfällt als zuvor. Beachten Sie den größeren Zeitbereich in Abbildung 2:

Hier werden nichtlineare Effekte erheblich.

Die spektrale Breite wächst nun von 4,4 THz (14,7 nm) auf 18,8 THz (62,7 nm).

Solange nichtlineare Effekte vernachlässigbar bleiben, lässt sich die zeitliche Verbreiterung leicht wieder rückgängig machen, indem man Dispersion des entgegengesetzten Vorzeichens anwendet. Man kann also dispersive Pulskompression erreichen, indem man aufwärts gechirpte Pulse in eine Faser mit anomaler Dispersion schickt oder abwärts gechirpte Pulse in eine Faser mit normaler Dispersion. Wenn nichtlineare Effekte nicht vernachlässigbar sind, könnten sie im Prinzip durch ein geeignetes Dispersionsprofil kompensiert werden – was in der Praxis allerdings schwierig ist. Deshalb sind optische Fasern als Pulskompressoren in den meisten Fällen auf Pulse mit relativ kleinen Spitzenleistungen beschränkt. Außerdem ist die Pulskompression am einfachsten, wenn eine spektral konstante Dispersion zweiter Ordnung ausreicht, d. h. wenn die spektrale Phase quadratisch mit dem Frequenzabstand variiert.

Intermodendispersion

Multimode-Fasern weisen eine zusätzliche Art von Dispersion auf: die Intermodendispersion. Das bedeutet, dass verschiedene Moden (siehe Teil 2) unterschiedliche Gruppengeschwindigkeiten haben; wir haben die Intermodendispersion bereits in Teil 4 besprochen. Wenn ein ultrakurzer Puls so in die Faser eingekoppelt wird, dass mehrere Moden angeregt werden, erscheinen die entsprechenden Beiträge am Ausgang zu unterschiedlichen Zeiten.

Abbildung 3 zeigt die Ausgangsleistung über der Zeit in einer Simulation, bei der ein 200-fs-Puls durch 50 cm einer Stufenindexfaser läuft. Das räumliche Profil des Eingangspulses ist eine Gaußfunktion, aber es ist nicht perfekt zur Faserachse ausgerichtet. Die Grundmode kommt zuerst heraus, da sie die schnellste ist. Ihr folgt die LP₁₁-Mode etwa 1,7 ps später – tatsächlich handelt es sich dabei um eine Überlagerung zweier solcher Moden mit unterschiedlicher Orientierung. (Diese Moden sind entartet, sofern die Faser exakt symmetrisch ist und gerade gehalten wird.) Weitere Moden erscheinen zu späteren Zeiten.

Abbildung 4 zeigt die Ergebnisse als animierte Grafik. Man sieht schön, wie die Faser das Eingangssignal in Moden zerlegt und diese zu unterschiedlichen Zeiten präsentiert.

Es ist leicht einzusehen, dass die Intermodendispersion Telekom-Signale völlig durcheinanderbringen kann. Wo sie stark ist, müssen die gesendeten Symbole zeitlich recht lang sein, und die Bitrate ist entsprechend niedrig. Man kann die Intermodendispersion jedoch minimieren, indem man eine Gradientenindexfaser mit parabolischem Brechungsindexprofil verwendet, wie in Teil 4 über Multimode-Fasern gezeigt; das erlaubt eine wesentlich höhere Bitrate. Eine andere Möglichkeit ist natürlich, eine einmodige Faser zu verwenden, die diesen schädlichen Effekt überhaupt nicht zeigt. Für die Datenübertragung über große Entfernungen verwendet man deshalb ausschließlich einmodige Fasern.

Zusammenwirken von anomaler chromatischer Dispersion und Nichtlinearität: Solitonenpulse

Wir haben bereits gesehen, dass normale chromatische Dispersion und Nichtlinearität (mit üblicherweise positivem nichtlinearem Index) so zusammenwirken, dass die zeitliche Pulsverbreiterung verstärkt wird und aufwärts gechirpte Pulse entstehen. Bei Fasern mit anomaler chromatischer Dispersion, also mit negativer Gruppengeschwindigkeitsdispersion, ist das Verhalten völlig anders. Hier neigt die Dispersion dazu, einen Abwärts-Chirp zu erzeugen, der dem aus der SPM resultierenden Aufwärts-Chirp entgegenwirken kann. Bei geeigneter Pulsform und Pulsenergie ist es sogar möglich, dass sich dispersive und nichtlineare Effekte vollständig gegenseitig aufheben, so dass sowohl die zeitliche als auch die spektrale Form des Pulses während der Ausbreitung konstant bleiben. (Es tritt lediglich eine zusätzliche globale Phasenverschiebung auf, die für Anwendungen normalerweise nicht relevant ist.) Ein solcher Puls wird als fundamentales Soliton bezeichnet.

Die Bedingungen für die Ausbreitung eines fundamentalen Solitonenpulses in einer verlustfreien Faser mit vernachlässigbarer Dispersion höherer Ordnung sind, dass der Puls ein ungechirpter sech²-Puls ist

$$P(t) = P_\mathrm{p}\;\mathrm{sec}{\mathrm{h}}^2\left( t/\tau \right) = \frac{P_\mathrm{p}}{{\cosh }^2\left( t/\tau \right)}$$

und dass die Pulsenergie ($E_\mathrm{p}$) und die Solitonen-Pulsdauer ($\tau$) die folgende Bedingung erfüllen:

$$E_\mathrm{p} = \frac{2\left| \beta_2 \right|}{\left| \gamma \right|\tau }$$

Dabei ist die Pulsdauer als volle Halbwertsbreite (FWHM) gegeben durch ($\tau_\mathrm{p} ≈ 1,7627 × \tau$), ($\gamma$) ist der SPM-Koeffizient in rad / (W m), und ($\beta_2$) ist die Gruppengeschwindigkeitsdispersion, definiert als Ableitung nach der Kreisfrequenz, also die Gruppenlaufzeitdispersion pro Längeneinheit (in s²/m).

Wenn die Pulsenergie um den Faktor ($N^2$) höher ist als für ein fundamentales Soliton, wobei ($N$) eine ganze Zahl ist, und die Pulsform weiterhin die obige ist, erhält man ein Soliton höherer Ordnung der Ordnung ($N$). Hier sind die zeitliche und die spektrale Pulsform nicht konstant, sondern sie entwickeln sich periodisch, mit der Solitonenperiode:

$$z_\mathrm{s} \approx \frac{\pi \;{(\tau_\mathrm{p}/1,7627)}^2}{\mathrm{2}\left| \beta_2 \right|} \approx \frac{{\tau_\mathrm{p}}^2}{\mathrm{2}\left| \beta_2 \right|}$$

Als Beispiel zeigt Abbildung 6 die zeitliche Entwicklung des Spektrogramms eines Solitons dritter Ordnung. Solitonen noch höherer Ordnung zeigen ein noch komplizierteres Verhalten.

Stimulierte Raman-Streuung

In dem Bereich, in dem starke nichtlineare Phasenverschiebungen auftreten, kann auch die stimulierte Raman-Streuung (SRS) sehr wichtig werden. Sie kann einen Teil der Pulsenergie auf längerwellige Komponenten übertragen.

Als Beispiel haben wir die Pulsentwicklung in einem Yb-dotierten Faserverstärker simuliert, in dem SRS gegen das Faserende hin relevant wird. Abbildung 7 zeigt die Entwicklung des Pulsspektrums entlang der Faser. Zunächst erhält man eine erhebliche spektrale Verbreiterung durch Selbstphasenmodulation. Nahe dem Faserende wird hauptsächlich der langwellige Teil des Spektrums um einige zehn Nanometer zu noch längeren Wellenlängen verschoben; das ist der Effekt der Raman-Streuung.

Man mag sich fragen, warum der kurzwellige Teil des Spektrums offenbar nicht betroffen ist. Das liegt daran, dass dieser Teil aufgrund der Gruppengeschwindigkeitsdispersion mit einer etwas geringeren Geschwindigkeit läuft. Er verliert damit den zeitlichen Überlapp mit dem Raman-verschobenen Anteil, der nahe dem linken Faserende (auf sehr niedrigem Niveau) zu wachsen begonnen hat. In anderen Situationen, z. B. bei geringerer Dispersion oder bei anomaler Dispersion, können die Ergebnisse ganz anders aussehen.

Im simulierten Beispielfall waren die anfänglichen Pulse 3 ps lang. In diesem Fall ist das Spektrum recht schmal, und die Raman-Verstärkung verstärkt einen Spektralbereich, in dem im Wesentlichen keine optische Leistung vorhanden ist – nur Quantenfluktuationen. Als Folge davon weist das Raman-verschobene Licht eine erhebliche Zufälligkeit auf. In anderen Pulsdauerbereichen kann man völlig andere Ergebnisse erhalten. Deshalb sollten auch andere Fälle mit Simulationen analysiert werden; man kann erhaltene Ergebnisse nicht ohne Weiteres auf andere Parameterbereiche übertragen.

Superkontinuumserzeugung

Die starken nichtlinearen Wechselwirkungen in einer Faser lassen sich für eine starke spektrale Verbreiterung von Licht ausnutzen. Es genügt allerdings nicht, einfach Licht mit hoher Spitzenleistung einzukoppeln, denn der Grad der spektralen Verbreiterung hängt auch empfindlich von den Dispersionseigenschaften, der Pumpwellenlänge und der Pulsdauer ab. Oft wählt man die Pumpwellenlänge im Bereich anomaler Dispersion, nicht zu weit von der Nulldispersionswellenlänge der Faser entfernt. Durch Verwendung einer photonischen Kristallfaser mit geeignetem Design kann die Nulldispersionswellenlänge so gelegt werden, dass sie zur Wellenlänge einer geeigneten Laserquelle passt.

In extremen Fällen erhält man Spektren, die mehr als eine Oktave breit sind. Genauer gesagt weisen sie über mehr als eine Oktave hinweg eine erhebliche optische Intensität auf. Beachten Sie jedoch, dass die volle Halbwertsbreite des optischen Spektrums immer noch deutlich kleiner als eine Oktave sein kann.

Zur Superkontinuumserzeugung kann eine ganze Reihe von Effekten beitragen. Häufig koppelt man Licht im Bereich anomaler Dispersion ein, mit einer Pulsenergie weit oberhalb derjenigen eines fundamentalen Solitonenpulses. Der Puls zerfällt dann in mehrere Solitonen mit unterschiedlichen Wellenlängen. Verschiedene zusätzliche Effekte wie Vierwellenmischung, Selbstphasenmodulation und stimulierte Raman-Streuung führen zu weiterer Verbreiterung, bis die Spitzenleistung zu gering wird. Abbildung 8 zeigt einen simulierten Beispielfall, bei dem 1-nJ-Pulse mit 400 fs Dauer in eine photonische Kristallfaser eingekoppelt werden.

Die verwendete Farbskala ist logarithmisch, so dass auch relativ schwache Teile des Spektrums dargestellt werden können.

Beachten Sie, dass die Bedeutung der verschiedenen Effekte in der Faser stark von diversen Parametern abhängt. Ein umfassendes Verständnis der Verbreiterungsprozesse erfordert numerische Simulationen und eine detaillierte Analyse.

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