Tutorial: Passive Faseroptik

Dies ist Teil 2 eines Tutorials über passive Faseroptik von Dr. Paschotta.

Teil 2: Fasermoden

Im Allgemeinen ändert sich das Intensitätsprofil von Licht, das sich in einer Faser ausbreitet, während der Ausbreitung. Oft entwickelt es sich sogar auf recht komplizierte Weise. Sehen Sie sich als Beispiel an, was passiert, wenn wir einen Gaußstrahl, der um 20° gegen die Strahlachse geneigt ist, in eine Faser mit 20 μm Kernradius und einer NA von 0,3 einkoppeln:

(Beachten Sie, dass wir hier nur Intensitätsprofile zeigen, da der größere dargestellte räumliche Bereich es schwierig macht, Wellenfronten darzustellen.)

Man erkennt deutlich die Interferenzeffekte, die auftreten, wenn der Strahl die Kern/Mantel-Grenzfläche erreicht und dort reflektiert wird. Am Ende sieht das transversale Strahlprofil so aus, wie in Abbildung 2 gezeigt:

Wir haben gesehen, dass sich die Intensitätsprofile im Allgemeinen auf komplizierte Weise entwickeln. Es gibt jedoch bestimmte Amplitudenprofile (also Verteilungen der elektrischen Feldamplitude), bei denen das Intensitätsprofil während der Ausbreitung unverändert bleibt (eine verlustfreie Faser vorausgesetzt). Solche Feldverteilungen werden Moden der Faser genannt. Die einfachste davon, die Grundmode, auch LP₀₁-Mode genannt, sieht für die Faser in unserem aktuellen Beispiel folgendermaßen aus:

Der graue Kreis kennzeichnet die Kern/Mantel-Grenze.

Hier ist eine Mode höherer Ordnung, die LP₃₇-Mode:

Wie bei der Grundmode wird die natürliche Divergenz durch das inhomogene Indexprofil exakt kompensiert.

Beachten Sie, dass besonders die Moden höherer Ordnung Profile haben können, die sich deutlich in den Mantel hinein erstrecken.

Die folgende Abbildung zeigt die Amplitudenprofile aller geführten Moden der Faser, sortiert nach ihren Modenindizes:

Die Moden wurden von der Software RP Fiber Power in deutlich weniger als einer Sekunde berechnet.

In unserem Beispielfall mit 20 μm Kernradius und NA = 0,3 hat die Faser bei 1,5 μm Wellenlänge 84 verschiedene geführte Moden (siehe Abbildung 5) – zählt man verschiedene Orientierungen der Moden mit, sind es sogar 160 pro Polarisationsrichtung. (Zum Beispiel existiert die LP₁₁-Mode auch in einer um 90° gedrehten Version; diese beiden Moden sind zueinander orthogonal.) Alle geführten Moden sind im Wesentlichen auf den Kernbereich beschränkt, auch wenn sie sich etwas in den Mantel hinein erstrecken können (allerdings mit abnehmender Intensität bei zunehmendem Abstand vom Kern).

Abbildung 6 zeigt die Fernfeldprofile der Fasermoden, wie sie in einiger Entfernung vom Faserende beobachtet werden könnten. Sie ähneln den Nahfeldprofilen, sind aber keine einfach umskalierten Versionen davon. (Sie können nicht erwarten, dass die für eine bestimmte Faserstruktur berechneten Moden zugleich Moden des freien Raums sind!) Beachten Sie außerdem zum Beispiel, dass alle LP_0m-Moden zwar näherungsweise den gesamten Faserkern ausfüllen und damit ähnliche Größen haben, dass die (im Fernfeld sichtbare) Divergenz aber mit zunehmendem ($m$) erheblich größer wird.

Es gibt außerdem viele nicht geführte Moden, die Mantelmoden genannt werden und sich über den gesamten Mantel (und den Kern) erstrecken können. Da der Mantel typischerweise viel größer ist als der Kern und normalerweise auch eine höhere numerische Apertur hat (wegen des großen Indexkontrasts zu einer Beschichtung um ihn herum), hat der Mantel normalerweise sehr viel mehr Moden als der Kern.

Wenn das Brechungsindexprofil zylindersymmetrisch ist, erhalten wir die sogenannten LP-Moden. Diese lassen sich relativ leicht numerisch berechnen, sogar für eine beliebige radiale Abhängigkeit des Brechungsindex und nicht nur für Stufenindexfasern. Die RP Fiber Power-Software etwa kann alle Moden unserer Stufenindexfaser innerhalb eines Bruchteils einer Sekunde berechnen und wäre zum Beispiel für ein super-gaußsches radiales Profil ebenso schnell. Für nicht radialsymmetrische Indexprofile sind sehr viel aufwendigere numerische Verfahren nötig, um alle Moden zu berechnen, und das erfordert deutlich mehr Rechenzeit.

Grundlegende Fakten über Moden

Wir betrachten nun verschiedene interessante Eigenschaften der Moden:

• Wie zuvor erwähnt, bleibt das Intensitätsprofil einer Mode während der Ausbreitung in der Faser konstant (siehe Abbildung 6), zumindest wenn diese verlustfrei ist. Das komplexe Amplitudenprofil ändert sich zwar, aber nur auf einfache Weise: Die komplexe Phase schreitet proportional zur Ausbreitungslänge voran: ($\varphi = \beta z$) mit der Phasenkonstanten ($\beta$). Beachten Sie, dass diese Phasenänderung für alle transversalen Positionen des Profils in gleicher Weise gilt. Jede Mode hat ihren eigenen Wert von ($\beta$), auch wenn Modenentartungen (gleiche ($\beta$)-Werte für verschiedene Moden) auftreten können.

• Für eine verlustfreie Faser sind die Phasenfronten der Moden stets eben. Der Poynting-Vektor, der die Richtung des Energieflusses angibt, ist im gesamten Modenprofil stets parallel zur Faserachse.
• Wenn Ausbreitungsverluste auftreten, etwa aufgrund eines Dotanden im Faserkern, sind die Moden etwas verändert. Die Wellenfronten können nun gekrümmt sein, was auf einen Energiefluss in radialer Richtung hinweist. (Wenn wir zum Beispiel nur im Kern Absorption haben, muss Energie vom Mantel zum Kern fließen. In den meisten Fällen gibt es allerdings nur geringfügige Verformungen der Wellenfronten.) Die optische Leistung nimmt dann entlang der Ausbreitungsrichtung exponentiell ab; die Ausbreitungskonstante erhält einen Imaginärteil, der dem Amplituden-Absorptionskoeffizienten entspricht.
• Allgemein nimmt die Zahl der geführten Moden zu, wenn die Wellenlänge kürzer wird. Für lange Wellenlängen kann es nur eine einzige geführte Mode geben (→ einmodige Fasern) oder sogar überhaupt keine geführte Mode. (Ein Stufenindexprofil hat immer mindestens die Grundmode, aber für manche photonischen Kristallfasern ist das nicht der Fall.)
• Die Moden bilden eine Basis (im mathematischen Sinne), also ein vollständiges Orthogonalsystem, für jegliches geführte Licht. Mit anderen Worten: Jede komplexe Amplitudenverteilung, die von der Faser geführt wird, lässt sich als lineare Überlagerung der Moden ausdrücken. Diese Modenzerlegung kann sowohl für monochromatisches Licht als auch für polychromatisches Licht durchgeführt werden; im letzteren Fall führt man die Zerlegung einfach für jede Frequenzkomponente einzeln durch.

Beachten Sie, dass eine Überlagerung verschiedener Moden im Allgemeinen keine Mode für sich ist. Im Allgemeinen haben verschiedene Moden verschiedene ($\beta$)-Werte. Deshalb ist ihre Phasenentwicklung unterschiedlich, und das gesamte Intensitätsprofil ändert sich während der Ausbreitung aufgrund der sich ändernden Interferenzbedingungen. Wenn nur zwei Moden angeregt sind, erhalten wir eine einfache Modenschwebung, bei der sich die Form des Intensitätsprofils periodisch ändert; die Periode ist umgekehrt proportional zur Differenz der ($\beta$)-Werte. Wenn viele Moden mit verschiedenen ($\beta$)-Werten angeregt sind, wird die Entwicklung sehr kompliziert.

Wichtige Eigenschaften von Moden

Für eine gegebene Wellenlänge hat jede Mode einer Faser mehrere wichtige Kenngrößen:

• Sie hat ein bestimmtes komplexes Amplitudenprofil, aus dem man das Intensitätsprofil erhält.
• Aus dem Intensitätsprofil kann man die effektive Modenfläche berechnen. Diese bestimmt, wie stark nichtlineare optische Effekte sein können.
• Die Phasenkonstante ($\beta$) gibt an, wie schnell sich ihre gesamte komplexe Phase während der Ausbreitung ändert. Für stark geführte Moden liegt sie deutlich über der Phasenkonstanten des Mantels. In diesem Fall erstreckt sich das Intensitätsprofil nicht wesentlich in den Mantel hinein.
• Aus der ersten und zweiten Ableitung von ($\beta$) nach der optischen Frequenz lassen sich die Gruppengeschwindigkeit und die Gruppengeschwindigkeitsdispersion (GVD) berechnen.
• Für verlustbehaftete Fasern kann jede Mode eine bestimmte Dämpfungskonstante haben. Diese Werte können sich zwischen den Moden stark unterscheiden – manchmal um Größenordnungen. Zum Beispiel sind Biegeverluste für Moden höherer Ordnung oft sehr viel höher. Sie können mit numerischer Strahlausbreitung berechnet oder mit analytischen Verfahren abgeschätzt werden. Übrigens kann eine Biegung das Modenprofil auch verschieben und verzerren.
• Die Grenzwellenlänge ist diejenige Wellenlänge, oberhalb derer die Mode nicht mehr existiert. (Unter bestimmten Umständen kann eine Mode eine obere und eine untere Grenzwellenlänge haben.)

Geringere Phasenverzögerungen für Moden höherer Ordnung!

Moden höherer Ordnung haben größere transversale Komponenten des Wellenvektors als Moden niedrigerer Ordnung. Da eine ebene Wellenkomponente mit einem solchen Wellenvektor gegen die Faserachse geneigt ist, könnte man erwarten, dass sie eine vergrößerte Weglänge hat, sodass eine Mode höherer Ordnung eine größere Phasenverzögerung erfährt als etwa die Grundmode. Das Gegenteil ist jedoch der Fall! Eine größere transversale Wellenvektorkomponente bedeutet eine kleinere longitudinale Komponente, und das bedeutet eine verringerte Phasenverzögerung. Tatsächlich sind also die Phasenkonstanten (($\beta$)-Werte) der Moden höchster Ordnung die kleinsten und liegen oft nahe beim Brechungsindex des Mantels multipliziert mit der Vakuum-Wellenzahl.

Übrigens zeigen solche Moden auch einen langsamen Abfall der Intensität im Mantel, das heißt, ihre Intensitätsverteilungen erstrecken sich recht weit in den Mantel hinein. Eine weitere Eigenschaft dieser Moden ist die verringerte Gruppengeschwindigkeit (siehe Teil 10 über chromatische Dispersion). Das würde eigentlich zu einer vergrößerten Weglänge passen, aber die oben erläuterten, vermutlich überraschenden Befunde sollten eine Warnung sein: Seien Sie vorsichtig mit schnellen “Erklärungen” dieser vagen Art.

Berechnung der Lichtausbreitung auf der Basis von Moden

Mit dem berechneten Satz von Moden kann man das resultierende Feldprofil für ein beliebiges Eingangsprofil nach einer beliebigen Ausbreitungsstrecke in der Faser berechnen:

• Zuerst berechnet man die Anregungsamplituden aller geführten Moden über komplexe Überlappintegrale des Eingangsamplitudenprofils mit den komplex Konjugierten aller Modenamplitudenprofile.
• Dann ändert man die komplexen Amplituden aller Moden entsprechend ihren ($\beta$)-Werten.
• Das endgültige Strahlprofil konstruiert man, indem man alle Beiträge der Moden aufsummiert.

Beachten Sie, dass dieses Vorgehen rechnerisch nicht aufwendig ist, sofern die Faser nicht eine riesige Zahl von Moden hat und/oder komplizierte Moden im Fall eines nicht radialsymmetrischen Indexprofils. Der Rechenaufwand hängt nicht von der Ausbreitungsstrecke ab. (Bei numerischer Strahlausbreitung würden längere Strecken im Allgemeinen mehr Zeit erfordern.)

Es gibt Fälle, in denen Berechnungen der Modenkopplung hilfreich sind. Zum Beispiel kann man die Moden einer “ungestörten” Faser berechnen und dann die Modenkopplung berechnen, die durch einen zusätzlichen Effekt verursacht wird. So kann etwa eine periodische Indexmodulation in einem Faser-Bragg-Gitter gegenläufige oder gleichläufige Moden koppeln.

Grenzen des Modenansatzes

Das Konzept der Moden ist für Berechnungen oft sehr praktisch, wie oben gezeigt. Es hat allerdings auch seine Grenzen:

• In manchen Fällen – zum Beispiel bei beliebigen Indexprofilen – sind die Moden sehr schwer zu berechnen.
• In Fällen mit einer riesigen Zahl von Moden kann es ebenfalls unpraktisch sein, Berechnungen auf ihrer Basis durchzuführen. Beachten Sie: Wenn Mantelmoden berücksichtigt werden müssen, käme man oft auf eine riesige Zahl von Moden, selbst wenn der Kern nur wenige geführte Moden hat.
• Zusätzliche Störungen wie eine Biegung machen die Berechnung der Moden bereits sehr viel schwieriger.
• Das Konzept ist zumindest auch schwieriger anzuwenden, wenn sich die Modeneigenschaften entlang der Faser ändern – zum Beispiel bei verjüngten Fasern.

Aus solchen Gründen ist statt des Modenkonzepts oft die direkte numerische Strahlausbreitung erforderlich.

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